Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

, e2

n . В координатах движение задается функция-

ми x = x(t) и y = y(t).

Т.к. V t0

V t0

N t0 е1 , то

х t0

, y t0

(*)

х t0

Вектор ускорения в момент t0 имеет координаты

y t0

, так что

Стр 32

x t

y t0 e2

d 2S x

Т.к

, то

dt2

и при t

в силу условий

имеем

x ,

d 2 S

x .

dt2

Кривизна траектории равна по формуле (3.9)

При

получаем

Kx 2 .Отсюда ясно,

что при

t t0

d 2 S

, an

dt 2

или

где R- радиус кривизны траектории.

Т.к. все величины в равенстве	не зависят от выбора
системы координат, то равенство	имеет общий характер.

Т.о. ускорение плоского движения является суммой двух векторов – тангенциального ускорения a и нормального ускоре-

ния an .

Ускорение a по величине равно производной по времени от численной величины скорости и направлено по касательной к траектории. Ускорение an по величине равно произведению

величины траектории на квадрат модуля скорости и направлено по нормальному вектору.

Пример: Движение материальной точки описывается

уравнениями x t , y t 3 . Найти траекторию, величину ско-

рости, нормальное и тангенциальное ускорения.

Решение: Траекторией является, очевидно, кубическая

парабола y

x3 . Выясним еѐ кривизну в точке

x, y .

Согласно (3.11)

1 y

1 9t

Величина скорости равна

y 2

1 9t 4

Единичный касательный вектор и единичный нормальный вектор имеют координаты (2.22) и (2.22′)

x 2

y 2

x 2

y 2

x 2

y 2

3t 2

Следовательно,

1 9t 4

1 9x4

1 9t 4

Далее находим

d 2 S

18t

По формулам

получаем

1 9t 4

18t 3

3t 2 j

1 9t

1 9t 4

3t 2i

1 9t 4

1 9t

3.4.3 Движение по заданной траектории.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся по аб-

солютно гладкой

поверхности

по заданной

траектории

(рис.25). Пусть уравнения траектории имеют вид

x x(S), y

y(S), где S – длина дуги.


		n
				(x,y)		θ	l
				α
					x




	mgj		a)	б)		в)
			a)	б)		в)
				Рис.2
				Рис.2
				Рис.25.

Действующие силы – это вес частицы					mgj	и некоторая си-

ла G , удерживающая точку на траектории (сила реакции свя-

зи). Предполагается, что сила G всегда перпендикулярна траектории. Это и имеют в виду, говоря , что траектория является абсолютно гладкой (т.е. отсутствуют силы трения, всегда направленные по касательной к траектории).

Пусть S и n S - единичный касательный и единичный нормальный векторы в точке траектории, отвечающие значению S параметра (длины дуги). Тогда

x i

, x12

y12 1,

y j , n

y i

где штрихом обозначена производная по S .Умножим правое

равенство на y , второе – на x

и сложим их. Получим

x n . Следовательно, вес материальной точки равен

mgj

mgy S

mgx S n S .

С другой стороны, направление силы G , по предполо-

жению,

задается вектором n . Значит, существует такая функ-

ция G S , что G G S n S .

Выше мы видели (см. равенство

), что вектор ускорения

d 2 S

равен

, где

K S - кривизна траек-

dt2

тории в рассматриваемой точке. Запишем второй закон Ньютона для нашего движения.

mgj G ma

Используя полученные соотношения, можно записать закон Ньютона в виде

	d 2 S			dS	2
mgy S m		S	G S mgx S		n S 0 .
	dt 2			dt

Т.к. , n - базис, то это векторное уравнение равносильно двум скалярным

d 2 S

mgy S m

0 ,

G S

mgx S

mk S

Первое из них запишем в виде

d 2 S

S ;

(3.23′)

dt 2

Это дифференциальное уравнение второго порядка от-

носительно неизвестной функции

S S t

описывающей за-

кон движения материальной точки. Зная

S t , мы из второго

уравнения можем найти силу G

G S n , с которой траекто-

рия действует на частицу. Рассмотрим сначала частные случаи.

3.4.4. Движение по наклонной плоскости.

Пусть материальная точка движется по наклонной плоскости (рис. 25 б), тогда ее траектория будет прямолиней-

ной	:	x x0 S cos ,	y	y0 S sin .

Тогда уравнение (3.23′) примет вид:			S t	g sin .

Дважды последовательно интегрируя, получим общее решение

в виде	S t	g	sin	t 2C t	C		.
						2
		2		1

Задав начальные условия при				t=0, S(0)=0 и S′(0)=0,получим

C	C		0 и S t g	sin	t 2 .
		2
1			2

3.4.5. Математический маятник.

Математический маятник – материальная точка массы m, укрепленная на невесомом стержне длины l, вращающемся вокруг точки опоры (рис. 25в) без трения.

Предположим, что материальная точка находится ниже

точки подвеса, т.е.		точка движется по полуокружности
x l sin , y	l cos	, где угол θ измеряет отклонение маятни-

ка от вертикали. Точка движется так, как если бы она скользи-

ла по гладкой дуге окружности, заданной рассматриваемыми уравнениями.

Натуральный параметр S выбирается так, чтобы S = 0

при θ = 0, т.е. S

. Следовательно,

x l sin

, y

l cos

sin

Уравнение (3.23′) приводится к виду

d 2 S

g sin

. Реше-

dt 2

ние этого уравнения содержат эллиптические функции. Одна-

ко, если ограничится случаем малых колебаний, тогда				S

				l
				l
мало и sin	S	S	. При таком упрощении уравнение становится
мало и sin	l	l	. При таком упрощении уравнение становится
	l	l

линейным

d 2 S

S 0

. Его общее решение имеет вид

dt 2

S t

C cos

sin

t .

Т.о., в рассматриваемом приближении маятник совершает

простые гармонические колебания с периодом T 2	l	, Ко-
	g

торый не зависит от амплитуды колебаний.

3.4.6. Решение задач о движении по заданной траектории в общем случае.

Ранее было получено дифференциальное уравнение для движения материальной точки, скользящей без трения вдоль

			dy
некоторой кривой (3.23′). Запишем его в виде	S	g		.
			dS

Справа стоит известная функция от S , т.к. кривая задана, и, следовательно, y(S) и x(S) мы должны рассматривать как известные функции от S (положительный отсчет длины дуги S ведем вниз – рис. 25а).

Умножим обе части данного уравнения на S . Получим,

(в функции y(S) мы рассмат-

риваем S как функцию от t)

t g

или

gy S

0 . Интегрируя, получим

dS 2

gy S

C1 .

Чтобы установить значение постоянной интегрирования C1 ,

предположим, что в момент t=0 S

и материальная точка

занимает на кривой место, соответствующее значению пара-

метра S 0 , т.е. ее координаты x0				x S0 и y0			y S0 . Скорость
точки в этот момент положим равной нулю,							т.е. S 0		0 . По-
лагая в найденном решении t = 0, получим							0	gy 0	C ,
откуда C gy0 и	1	2	gy g y0 , т.е.		1	2			y0 .
		S				S	g y
	2				2

Пусть в процессе движения производная S t								сохраняет

свой знак в течение некоторого временного интервала. Напри-

мер, пусть	dS	0 . Тогда из последнего равенства получаем
мер, пусть	dt	0 . Тогда из последнего равенства получаем
	dt
			dS
			dS	2g( y0	y) .

			dt
			dt

Т.к. S	0 , то для функции S S(t) существует дифференци-

руемая обратная функция. Это значит, что мы можем рассматривать t (время) как функцию S (расстояния, измеренного

вдоль траектории). Для обратной функции получаем уравне-

ние

2g( y0

y(S ) )

Интегрируя, получим t

C2 .

2g( y0

y(S ) )

Пусть F(S) – первообразная для правой части. Тогда

F(S) C2 . Т.к. t=0 при

S=S0,

то 0 F (S0 ) C2 . Т.е.

F (S0 ) и t F (S ) F (S0 ) .

Приращение первообразной заменим определенным интегралом. Получим решение в виде

S	d
t		.


	2g( y(S0 ) y( )
S0

Это уравнение выражает (в интегральном виде) время t, которое материальная точка затрачивает для прохождения пути от S0 (начало движения) до S.

Данная формула выведена в предположении, что используется параметрическое представление траектории, причем за параметр принята длина дуги. Удобно переписать ее для произвольного параметра θ

x x( ), y y( )

(вместо t здесь используя параметр θ, а буква t сохраняется для обозначения времени). Тогда, заметив, что при t=0 параметр должен равняться θ0, получим

2g( y0

Учитывая, что

x (

) 2

y (

) 2

, окончательно полу-

чим

x 2

y 2

(3.24′).

2g( y0

Замечание. Интеграл (3.24′) является несобственным, т.к. при y=y0 (S=S0) имеется бесконечный разрыв у подынтегральной функции. Но если y′(S) непрерывна и y′(S0)≠0, то можно показать, что указанный интеграл сходится.

3.4.7. Исследование движения.

С помощью полученных уравнений, даже не имея явного выражения для результата интегрирования, можно уяснить общий характер движения.

Пусть кривая имеет форму дуги, обращенной выпуклостью вниз (рис. 26а). Пусть S возрастет слева направо. Если в начале движения мы отпускаем материальную точку и даем ей падать из положения A(x0,y0) с параметром θ0, то ее скорость возрастет, т.к. ускорение положительно (правая часть уравне-

ния (3.23′)).

y
A	B	y
Y0
		2a
			P	C
				C
				C
0 X0	X1 x	0		Q	2a x
a)				б)	в)

Рис.26

Материальная точка будет скользить до самой низкой точки траектории с возрастающей скоростью. Но, пройдя самую нижнюю точку кривой, материальная точка замедляет свое движение, т.к. ускорение становится отрицательным, поскольку отрицательной становится правая часть уравнения

движения g dSdy . Поэтому скорость убывает. Из уравнения

2	2g y y0 видно, что, когда материальная точка снова
S

достигает своей начальной высоты в точке траектории B(x1, y0), скорость обращается в нуль.

Так как ускорение по-прежнему отрицательно, материальная точка должна из положения B возвратится назад, совершая обратное скольжение до точки А. Поскольку трение не учитывается, этот процесс должен все время повторятся.

В этом колебательном движении время, требующееся для возвращения материальной точки от В к А должно, очевидно, равняться времени, в течение которого она прошла путь от А до В. Если обозначить время такого колебания туда

иобратно через Т, то движение будет периодическим с периодом Т.

Обозначив через θ0 и θ1 значения параметров в точках А

иВ, получим для полупериода колебательного движения из

(3.24′)

T 1

1	x12	y12
			d	(3.25′)
0	y0	y	d	(3.25′)
0

3.4.8. Циклоидальный маятник.

В п. 3.4.5. получено выражение для периода Т математического маятника. Лишь в приближении малых колебаний период не зависит от амплитуды колебаний. Гюйгенс (XVIIв.) в связи с его работами по устройству точных часов, поставил вопрос о том, существуют ли кривые (траектории), для которых Т на самом не зависит от амплитуды (начального смещения). Он нашел, что таким свойством обладает циклоида ( и только циклоида).

Для того, чтобы материальная точка могла вообще совершать колебания по циклоиде, точки заострения (точки возврата) циклоиды должны быть обращены в сторону, противо-

положную направлению силы тяжести, т.е. вверх. Для этого циклоиду, которую обычно рассматривают (рис.20, верхняя кривая) надо зеркально отразить относительно прямой y=a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf