Учебное пособие 2001

Это - векторно-параметрическое (или просто параметрическое уравнение поверхности). Найдем параметрические уравнения поверхностей для трех рассмотренных примеров.

Рис.41

2. Предположим теперь, что r0 есть радиус-вектор полюса,

i - единичный вектор, направленный по полярной оси, а j -

единичный вектор, перпендикулярный этой оси. Обозначив как обычно через υ и ρ полярные координаты точки на плоскости, получим ее параметрическое уравнение в этих координа-

3. Предположим для простоты, что центр сферы радиуса а совпадает с началом декартовой прямоугольной системы

координат с базисом i , j, k .

Начальный меридиан поместим в плоскости XOZ и будем отсчитывать долготу υ от положительного направления осиOX положительному направлению оси OY.

123

Экваториальную плоскость совместим с плоскостью XOY, а широту θ примем положительной для точек с положительными аппликатами z и отрицательной в противном

случае (рис.41). Проекции радиус – вектора точки М сферы на ось OZ и плоскость XOY будет соответственно равны.

z a sin

OM1 a cos

Проекции вектора OM 1 на оси OX и OY будут

х= OM1osυ, y = OM1sinυ или x = acos cosυ, y=acos sinυ.

Таким образом, параметрическое уравнение сферы в геогра-

Замечание: Часто уравнение поверхности задают в явном виде

Z = f(x,y).

Это уравнение следует считать частным случаем параметрического. Действительно, принимая за параметры абсциссу и ординату точки поверхности, можно написать ее параметрическое уравнение в следующем виде

Такое параметрическое задание называют элементарным. При элементарном задании однозначность соответствия между значением параметров и точками поверхности имеет место только при однозначности функции z = f(x,y).

два значения радикала соответствуют двум полусферам, расположенным по разные стороны плоскости XOY.

124

5.5. Касательная прямая

Чтобы можно было применить метод дифференциальной геометрии, следует ограничить класс поверхностей, подлежащих рассмотрению. Мы будем рассматривать только такие поверхности, в параметрическом уравнении которых функция

r u,v имеет частные производные не менее двух порядков.

Предполагая это, решим задачу о нахождении касательной прямой к поверхности.

Прямая касательная поверхности, если она касается некоторой кривой, принадлежащей поверхности. Пусть поверхность задана уравнением

а принадлежащая ей кривая в свою очередь параметризирована с помощью параметра t. В таком случае каждому значению этого параметра соответствует некоторая точка кривой, а ее положению на поверхности соответствуют, в свою очередь, определенные значения криволинейных координат u и v .

Т.о. криволинейные координаты точек кривой, расположенной на поверхности, являются функциями параметра t.

Соответствующая система соотношений

u= u(t); v = v(t). (5.3)

называется внутренними уравнениями кривой на поверхности. Внутренние уравнения полностью характеризуют линию, если задано параметрическое уравнение поверхности, т.к. под-

становка (5.3) в (5.2) приводит к уравнению

являющемуся параметрическим уравнением данной кривой. Касательный вектор этой кривой будет и направляющим

вектором прямой, касающейся поверхности. Его получим, дифференцируя r по параметру t по правилу дифференцирования сложной функции

125

Эти векторы называются координатными векторами, соответствующими той точке, криволинейные координаты которой представляются при их вычислении. Легко видеть, что координатные векторы есть векторы касательных к координатным

Рис.42

Аналогичный результат очевидно будет иметь место и для другой координатной линии

Т.о., из формулы (5.5) следует, что направляющий вектор всякой прямой, касающийся поверхности в данной точке, является линейной комбинацией координатных векторов, соответствующих этой точке.

126

Т.к. рассматривается неособая точка поверхности, то не все такие определители состоят из нулей. Обычно коэффициент пропорциональности полагают равным единице и записывают

Эти числа являются координатами вектора нормали N к по-

верхности N A, B,C , , перпендикулярного касательной плоскости.

Обозначим радиус – вектор текущей точки касательной плоскости через , а радиус – вектор точки касания через r ,тогда

уравнение касательной плоскости получим в виде равенства нулю смешанного произведения

128

5.7 Длина дуги. Первая дифференциальная квадратичная форма Гаусса.

Вычисляем длину дуги линии, расположенной на поверхности. Для этого воспользуемся внутренними уравнениями кривой (5.3) и подстановкой (5.4) Найдѐм сначала дифференциал длинны дуги. Так как

dS 2 dr 2 ,

то

В развѐрнутом виде

129

Если мы хотели вычислить длину дуги, ограниченную точками кривой, соответствующими значениями параметра t и t, то она выразится интегралом

t1

S dS

t2

Подставляя вместо dS его выражение из (5.10) и вводя явно интегрирование по t, получим окончательно

Зная внутреннее уравнение кривой надо выразить u и v через t

в выражениях для Е,F и G (5.9), найти производные dudt и dvdt ,

подставить всѐ это в подкоренное выражение в (5.12) и задача

t1

сведѐтся к вычислению интеграла вида f t dt,

t2

Выражение (5.10) квадрата дифференциала длинны дуги играет основную роль во всей теории поверхностей. Правая его часть представляет квадратную форму с коэффициентами, являющимися функциями точки поверхности. Переменными являются du и dv – дифференциалы криволинейных координат, которые зависят от направления кривой, проходящих через данную точку.

Форма (5.10) называется первой дифференциальной формой Гаусса. Кроме того, еѐ называют линейным элементом по-

130

верхности, подчѐркивая этим, что значение еѐ является основой для вычисления длин дуг.

Отметим некоторые важные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты линейного элемента. Из равенств

Выражение в правой части есть дискриминант линейного эле-

Неравенства (5.13) и (5.14) соответствуют тому факту, что основная форма (5.10) положительна и не может обратиться в нуль при значениях переменной dv и du, не равных нулю одновременно. Такие квадратные формы называются положитель- но-определенными.

Пример1.

Найти линейный элемент плоскости в декартовых координатах.

131

5.7.1. Угол между двумя линиями.

Если две кривые пересекаются, то угол между ними называют угол между их касательными в точке пересечения. Пусть кривые лежат на одной поверхности и пересекаются в некоторой точке. Касательные векторы этих кривых будем различать, употребляя различные обозначения для дифференциалов

(рис.43).

Искомый угол определится по обычной формуле векторной алгебры

dr r Cos ,

dr r

в которой следует положить

Рис.43.

132