Учебное пособие 2001

113

5. Дифференциальная геометрия поверхностей 5.1. Теория поверхностей в трехмерном пространстве 5.1.1. Общие замечания

До сих пор мы изучали линии и их метрические инварианты на плоскости и в пространстве ( нормаль, каса-тельная, бинормаль, кривизна, кручение, формулы Френе). Но эти инварианты зависят от способа вложения линии в пространство. В этом смысле они являются инвариантами лишь способа вложения, формы линии, т.е. это понятие внешней геометрии (по отношению к линии). Никаких внутренних метрических инва-

114

риантов на линии не бывает.Однако можно выбрать вдоль линии натуральный параметр (S), в котором длина отрезка кривой между точками измеряется так же, как и на прямой.

Для поверхностей это уже не так. Например, никаким образом нельзя задать координаты на сфере (даже на части сферы) так, чтобы формулы длин кривых в этих координатах были такими же, как формулы длины кривых в декартовых координатах x,y на плоскости.

Но поверхности в трехмерном пространстве – это простейший объект на котором возникает внутренняя геометрия.

Интуитивные представления о поверхности в трехмерном пространстве имеются у каждого человека. Далее будет сделана попытка очень кратко, формально описать эти представления, ограничиваясь сравнительно узким классом поверхностей.

Каковы существуют способы задания поверхностей? Существуют три способа задания поверхностей. До сих пор мы рассматривали в курсе математического анализа два из них.

1.простейший - графиком функции z = f(x, y).

2.более общий – уравнением F(x, y, z) = const

3.параметрический – (по аналогии с кривыми) Определение 1. Говорят, что уравнение F(x, y, z) = const

5.1.1. Параметрический способ задания поверхностей

Ранее рассматривалось параметрические уравнения кривой в пространстве

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

115

ливо и в отношении поверхностей. Поэтому, желая распространить основные понятия планиметрии на случай произвольной поверхности, следует распространить на случай поверхности метод аналитической геометрии.

Но этот метод есть метод координат, позволяющий определить положение точки на плоскости с помощью двух чисел.

Аналогичный способ задания положения точки на поверхности и есть метод “криволинейных координат”, установленный Гауссом.

5.2. Криволинейные координаты

Если в уравнениях (5.1) фиксировать значение одного из параметров, положив, напри-

v=v5 v=v4 мер, u=u0, то очевидно получаются уравнения

некоторой кривой

x=x(u0,v), y=y(u0,v), z=z(u0,v),

которая всеми точками лежит на поверхности. Изменяя значение u0, получим целое семейство таких “кривых (u)”. Аналогично, фиксируя

Рис.36.

значение v=v0, получим также кривую на той же поверхности x=x(u,v0), y=y(u0), z=z(u,v 0),

из таких “кривых (v)” также составляется целое семейство

(рис.36).

V=v0

Выясним условия, при которых около не особой точки пверхности P(x0, y0, z0) можно задать локаль-ные регулярные координаты U, V.

117

Пусть поверхность задана уравне-ниием F(x, y,z)=C. По теоре-

то уравнение поверхности можно решить относительно z в окрест- U=u0 ности точки P0 (x0, y0, z0): где z=f(x,y),

где z0=f(x0, y0), причем F(x, y, f (x, y)) ≡ C в некоторой области плоскости XoY, окружающий точку (х0, у0). Отсюда получаем, беря дифференциал от обеих частей^

Следовательно, для поверхности F(x, y, z)=С около точки (x0, y0, z0) можно написать параметрическое представление z=f(u,v), x=u, y=v. Т.о., локально, около неособой точки поверхности, всегда можно задавать поверхность параметрически, т.е. можно задавать локальные криволинейные координаты. Если поверхность является простой, то через каждую ее точку проходит по одной координатной линии из каждого семейства.

Предположим теперь, что функции (5.1), задающие поверхность параметрически не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области. Тогда можно определить неособую точку

P0(x0, y0, z0)=P0[(x(u0, v0), y(u0, y0), z(u0,v0)]

следующим образом.

118

Определение 2. Точка Р0 на поверхности называется неособой, если в функциональной матрице

для значений параметров (u0, v0), определяющих точку Р0 поверхности, отличен от нуля хотя бы один определитель второго порядка (т.е. ранг данной матрицы равен 2).

Можно доказать, что если поверхность задана параметрически, и точка Р0-неособая, то около этой точки поверхность можно задать уравнением

Р0(x0, y0, z0) на поверхности, все три способа задания поверхностей (гладкими функциями) эквивалентны.

Рассмотрим параметры поверхностей и координатных линий.

119

в) в целом поверхность нельзя задать параметрически (так чтобы все точки были неособые)

Эта поверхность такова, что одну половину можно задать как в виде графика Z=f (x,y), так и параметрически.

120

Здесь точка (0,0,0) особая.

5.3. Примеры криволинейных координат

Рассмотрим простейшие примеры координатных сеток, начиная с декартовой координатной сетки плоскости, которая является как бы прообразом всех остальных.

1. Два семейства параллельных прямых, образованных прямыми различных направлений (например, ортогональных междусобой) образуют сеть. Параметризируя эти семейства так, чтобы каждой прямой соответствовало значение расстояния этой прямой от некоторой принятой за начальную, и приписывая этому знак мы и получим обычную (косоугольную) декартовую систему координат. (рис.40а).

2. Рассмотрим сетку, образованную пучком лучей, выходящих из некоторой точки и семейством концентрических окружностей с центром в этой точке. Оба семейства имеют по одной точке пересечения за исключением начала. Это особая точка координатной сетки. Параметризируем семейство прямых, принимая за параметр угол υ между начальной прямой (υ=0) и данной прямой пучка. Каждой окружности семейства сопоставим значение ее радиуса. Полученная таким образом система координат совпадает с полярной (рис.40б).

121