Учебное пособие 2001

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ответ окружность:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

(рис.26 б). Поэтому уравнения циклоиды теперь имеет вид x a sin, y a 1 cos.

Время,в течение которого материальная точка проходит по циклоиде (равное 14 T ) от точки, находящейся на высоте

y0 a 1 cos

до самой нижней точки циклоиды, получим с помощью фор-

мулы (3.25′)

x12

y12

a 2 1

cos 2

a 2 sin2

a 1

cos

a 1 cos

a2 1

2 cos

cos2

a2 sin2

2 1

cos

a cos

cos

Преобразуем знаменатель:

cos

2 cos2

cos2

Тогда

sin

cos2

Сделаем подстановку cos

U cos

sin

cos

dU .

При θ1=α cos

U1 cos

;

1 ;

при

cos

U 2 cos

;U 2

0 .

sin

Получаем

cos2

2 arcsinU /10

2 0 arcsin1

1 U 2

Таким образом, T 4

, так что период колебания Т

действительно не зависит от угла наибольшего отклонения α. Гюйгенс указал также, как именно реализовать такой

циклоидальный маятник. Для этого тонкая нить с точечной массой на ее конце должны качаться между двумя жесткими циклоидами (рис.26 в). Материальная точка на конце нити будет описывать эвольвенту циклоиды, которая также является циклоидой (пример 3, п.3.3). В часах циклоидальные маятники не применяются.

Циклоида обладает и другим замечательным свойством. Если соединить точку Р циклоиды с ее самой низкой точкой Q любой кривой С1 отличной от циклоиды (рис 26 б), то на спуск от Р до Q вдоль этой другой кривой потребуется больше вре-

мени, чем на спуск по циклоиде, т.е. больше, чем	T	a	.

	4	g

Этот результат был получен несколькими выдающимися математиками независимо друг от друга. Среди них братья Бернулли (Якоб и Иоганн), Паскаль, Лейбниц, Ньютон. Это открытие было важным шагом в создании той ветви математики, которая называется вариационным исчислением.

Задачи для самостоятельного решения.

I. Найти кривизну и радиус кривизны в заданной точке. Если координаты точки не указаны, то в произвольной точке.

1.	y		x 4						4x3				18x 2 в т. О(0,0) Ответ: К=36.
2.	y			x			3 в т. А						1				,	1		Ответ: К=						192			.
2.	y			x			3 в т. А										,			Ответ: К=									.
													2				8								125
3.	x2			y 2							1 в т. М(0,3)											Ответ: К=						3		.
3.	25				9						1 в т. М(0,3)											Ответ: К=						25		.
	25				9																							25
4.	y		x3					Ответ: К =												6x					.
																				6x

																							3
																							3
																	1			9x4
																	1			9x4			2
		y 2							ln y															4 y
5. x														Ответ: К=													.
5. x			4				2							Ответ: К=									y 2		1 2		.
6.	y		sin x в т. (													, 1).
6.	y		sin x в т. (											2		, 1).
7. y ach								x		.
7. y ach										.
								a
8.	y		e x .
9. y			1				0<x<+ .
9. y			x				0<x<+ .
			x
10.	y						lncos x ,													x				.
10.	y						lncos x ,										2			x			2	.
11.	x		3t 2 , y									3t t 3 при t=1.
12.	x		t 2 , y								t 3		в т. (1, 1).
13.	x					a t					sin t ,						Циклоида								Ответ: К=									1

	y					a 1					cost .																					3		1
																																3


																															2 2 a 1 cost				2
14.	x		et , y								cost .
15.	x		t		3					t; y					1	t	3		1	t	2	.
15.	x		t							t; y			3			t			2	t		.
													3						2
16.	x		t 3							t; y				t 4 .
17.	x 2				xy						y 2				3 в т. (1, 1)										Ответ: К=							1	.


																														3		2

18. x

a cos3 t, y

a sin3 t (астроида) Ответ: К=

3a sin 2t

19.

sin t

в точке t=1 Ответ: К=

cost

e 2

II. Вычислить координаты центра кривизны:

1 в т. (1,1)

Ответ: (2.2).

в т. (а, а) Ответ:

a .

x 2

10 в т. (3, 1)

Ответ:

e x

в т. (0, 1)

Ответ: (-2; 3).

y 4

2 в т. М(1, 1) Ответ:

;

e x2

в т. (0, 1).

a cost, ybsint в т. (а, 0) и (0, 6).

et , y

sin 3t

в т. (1, 0).

III Вычислить кривизну линий, заданных в полярных

координатах:

1. r

aek

логарифмическая

спираль.

Ответ:

К=

r 1

k 2

a(1

cos

) кардиоида Ответ: К=

4a cos

r 2

2a r

cos2

при υ=0 и υ=π. Ответ: К=

в обеих вершинах.

IV. Составить уравнение эволюты.

1. y 2 x	1	Ответ:	2	16	3 .

	2			27

V. Найти скорость, ее величину, ускорение, нормальную и тангенциальную составляющие ускорения. Изобразить на чертеже траекторию движения.

1. r

2. r

3. r

4. r

5. r

6. r

7. r

8. r

9. r

10. r

			1		2
ti				t			j .
ti			2	t			j .
			2

cos2 ti								sin2 tj , где 0						t		.
cos2 ti								sin2 tj , где 0						t	2	.
															2

costi						cos2tj .
															0) .
a costi								b sin tj; (a					0, b		0) .
1					1						3				1
1		2			1					12					1
	t		i					2t				j	где t				.
2	t		i		3			2t				j	где t		2		.
2					3										2
et				e t
et	j			e t			j .
		3								где			0	t	.
cos ti								costj		где			0	t	.

ti			ln tj					где t				0 .

cos(t					1)i				(t		1) j .

								t 2
ti					1			t 2	j .

4.Дифференциальная геометрия кривых в пространстве. 4.1. Кривизна пространственной кривой.

Рассмотрим спрямляемую пространственную кривую и на ней произвольную точку Р. Предположим, что в точке Р и в каждой точке кривой поблизости от Р существует касательная.

Возьмем рядом с Р на кривой другую точку Р′. Обозна-

чим через σ длину дуги PP , через ω- угол между касательными к кривой в точках Р′ и Р (рис. 27). Причем рассматриваются

касательные отвечающие одному и тому же направлению кривой.

Угол ω часто называют углом смежности соответствующих касательных. Как σ так и ω берутся без учета знака.


Отношение	называется средней кривизной дуги	PP .

Если средняя кривизна имеет предел, когда точка Р′ по любому закону стремится к Р, т.е. когда σ→0; то этот предел называется кривизной кривой в точке Р.

В различных точках кривой эта кривизна, вообще говоря,

будет различной т.е. K lim		(4.1).
будет различной т.е. K lim		(4.1).
0
	PQ \|\| P Q
σ				Пусть		рассматриваемая
P′				Пусть		рассматриваемая
Q′	кривая задана параметрическими
ω						уравнениями
ω
	x x(S), y y(S), z z(S) ,
Q	где		S-длина		дуги (натуральный
	параметр). В векторной форме
Рис.27.
	r		xi	yj	zj	r S .

Предполагается, что все функции дважды дифференцируема. Как было показано ранее (см. раздел 2.), дифференцируя r по S, получим единичный вектор касательной к кривой (рис 28)

dr , 1 (4.1). dS

O r

n P

Как в случае плоских кривых, производная от по S называется век-

	d
	d

тором кривизны		N . Модуль
тором кривизны	dS	N . Модуль
	dS

этого вектора кривизны, как и в плоском случае, дает кривизну К.

N	78

	d	d 2
K	d	d 2	r	(4.2).
K	dS	dS 2		(4.2).
	dS	dS 2
Обратная величина кривизны R					1	называется радиусом

					K
					K
криРис.28				визны.
Однако, в трехмерном случае векторов
Однако, в трехмерном случае векторов							и N не хвата-

ет, чтобы составить репер (базис) пространства. Нужен третий вектор. Поступим следующим образом. Рассмотрим сначала

единичные векторы взаимно перпендикулярных направлений.

Как в случае плоской кривой вектор N перпендикулярен и его направление называется направлением главной нормали кривой. Т.е. нами введены два взаимно перпендику-

лярных вектора единичной длинны

и n .

Введем еще один единичный вектор. Для того, чтобы

фиксировать его

направление

положим b

n ,

где a

векторное произведение векторов

и b . В силу известных

направлен

свойств векторного произведения вектор b

Рис. 28.

перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы

n , причем длина его равна

sin

, где

(угол

между

и n ). Поэтому

Вектор b

называется единичным вектором бинормали.

Т.о., в каждой точке S кривой построены три взаимно ортого-

нальных

единичных вектора:

касательный

(S),n(S),b(S) -

вектор, вектор главной нормали и бинормали. Эти векторы удовлетворяют условиям

								S
	S , n S	b S , n S ,b S				S , b S ,		S	n S .

Три единичных вектора , n,b , имеющие ту же ориентацию,

что и координатные оси, составляют, как говорят переменный триэдр (или основной репер) кривой.

Т.к. направление этих векторов зависит от точки кривой, то эту тройку векторов также называют сопровождающим репером кривой.

4.2 Формулы для вычисления кривизны .

Сначала установим связь между определением кривизны, даваемой формулами (4.1) и (4.2) . Для этого заметим, что при переходе от точки Р кривой к другой ее точке Р′, соответ-

ствующее значению S

переменной дуги, вектор полу-

чает некоторое приращение

S (рис.29 а)

P′

Рис.29

Обозначим через ω угол между векторами

(угол смежности касательных). В соответствии с (4.1)

lim

S 0

поэтому (рис. 29 б)

lim

S 0

lim

2 sin 2 K

K; (

0) .

S 0

Следовательно,

K . Т.е. модуль вектора кривизны равен

кривизне. Отсюда и наименование «вектор кривизны».

Из равенства (4.2) следует

(4.3).

dS 2

- формула для вычисления кривизны.

Формула (3.5) для кривизны плоской кривой может быть получена из (4.3), если получить z=0.

Пример: Найти кривизну винтовой линии

x a cost, y

asint, z

kt , (а, к - постоянные). В этом случае

dx 2

dy 2

dz 2

;

x 2

y 2

z 2 ,

asint; y

a cost; z

k и

sin

t a

cos

t k

;

a 2

k 2

Поэтому

dx dt

a sin t

;

dt dS

a 2

k 2

d 2 x

a cost

dS 2

a 2

k 2

и аналогично

a cost

;

d 2 y

a sin t

;

d 2 z

dS2

dS dS2

k 2

Следовательно, по формуле (4.3)

a cost

a sin t

a2 (cos2 t

sin2 t)

k 2

(a2

k 2 )2

a2 k 2

Т. о., для винтовой линии кривизна постоянна.

4.3. Основные элементы кривой в пространстве.

4.3.1 Кручение.

Очевидно, что одной кривизны в трѐхмерном пространстве не-

			достаточно для того, чтобы охарактеризовать
			геометрические свойства кривой. Например, кри-
			вая	намотанная на цилиндр – винтовая линия
			( x	Rcost, y	Rsint, z ht ) (рис.30) кроме кри-
	z		визны, она ещѐ «закручивается» по третьему на-
			визны, она ещѐ «закручивается» по третьему на-
x		y	правлению (оси OZ).
		y

			Мы рассмотрели выше три единичныхных век-
			тора	,n, и	b, образующих сопровождающий

рис.30 репер кривой; эти векторы взаимно перпендику-

лярны и имеют туже ориентацию, что и координатные оси.

Если кривая плоская, то векторы ,n, находятся в плоскости кривой и, следовательно, единичный вектор бинормали

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf