Учебное пособие 2001

Сравнение с условием (7.5') приводит к (7.5), то есть к условию прикосновения дискриминантной кривой и кривых семей-

равны нулю. В противном случае (7.8) может выполняться для касательного вектора dadx , dady дискриминантной кривой, если

он и не совпадает по направлению с касательным вектором кривой семейства.

Таким образом, ветвь дискриминантной кривой может и не являться огибающей, если в ее точках

Fx'=Fy'=0,

то есть, если они являются особыми точками кривых семейства (рис. 57б).

Следовательно, дискриминантная кривая семейства, определяемая уравнениями (7.7), является огибающей, если она не состоит из особых точек кривых семейства.

Пример. Найти огибающую семейства прямых, заданных нормальным уравнением

считая, что p есть функция от α (рис. 57 c).

Решение. Дифференцируя по параметру α, получим

183

7.2. Огибающая семейства поверхностей.

Семейство поверхностей, зависящее от одного параметра, задается уравнением

F(x, y, c)=0 (7.9)

При фиксированном значении параметра с это уравнение определяет одну из поверхностей семейства, а именно *********

184

соответствует переходу к другим поверхностям (рис. 59а)

(рис. 59а) (рис. 59б)

Если существует поверхность, касающаяся в каждой своей точке некоторой поверхности данного семейства, то она называется огибающей данного семейства (рис. 59б).

По этому определению каждая точка огибающей принадлежит некоторой поверхности семейства, а эта поверхность характеризуется определенным значением параметра c.

Поэтому можно сказать, что каждой точке огибающей соответствует определенное значение c, так что c есть функция координат x, y, z точки огибающей

c=c(x, y, z). (7.10)

Подставляя в (1) координаты точки огибающей и соответствующее ей значение параметра, получим тождество

F(x, y, z, c(x, y, z))≡0 (7.11)

Чтобы получить условие прикосновения огибающей и поверхностей семейства, рассмотрим некоторую кривую

расположенную на огибающей.

Так как координаты точек этой кривой должны удовлетворять (7.11), то для них будет иметь место тождественное равенство

F{x(t), y(t), z(t), c(t)}≡0.

Дифференцируя последнее соотношение, получим новое тождество

Но касательный вектор огибающий dr должен одновременно dt

185

быть и касательным вектором соответствующей поверхности

семейства. Это значит, что нормальный вектор N поверхности

Из сравнения (7.13) и (7.12) следует

Это соотношение справедливо для всякой кривой на огибающей.

Указанные кривые можно выбрать так, чтобы они соединяли точки различных поверхностей семейства, то последнее условие должно выполняться и при переменном c, то есть при

Таким образом, координаты точек огибающей должны удовлетворять двум уравнениям

Исключая параметр c из этих уравнений, можно получить соотношение вида

υ(x, y, z)=0, (7.15)

которое будет уравнением огибающей, если она существует. Если исключить параметр c из уравнений (7.14) и рассмотреть поверхность, заданную уравнением (7.15), то она (дискриминантная поверхность семейства) еще не обязательно является огибающей. Найдем условия, при которых она будет огибающей.

Так как координаты любой точки дискриминантной поверхности удовлетворяют (7.9), то каждая точка этой поверхности принадлежит одной из поверхностей семейства при некотором значении c.

Помимо этого нужно еще установить наличие прикосновения.

186

Для этого следует взять произвольную кривую, расположенную на дискриминантной поверхности, подставить ее координаты, заданные в функции параметра t в (7.14А) и дифференцировать также, как в случае вывода формулы (7.12). Получим условие

поскольку в силу (7.14В) последнее слагаемой равно гулю, снова приходим к условию

Это условие выражает перпендикулярность касательного век-

тора dr дискриминантой поверхности к нормальному вектору dt

поверхности семейства, если только не имеют места одновременные равенства

Fx'=Fy'=Fz'=Fc'=0.

Эти равенства определяют особую точку поверхности семейства.

Таким образом, дискриминантная поверхность есть огибающая семейства, если она не состоит из особых точек поверхности семейства.

Пример. Найти огибающую семейства сфер и центром на оси

Z и заданного радиуса R. x2+y2+(z–c) 2=R2.

Решение. Дифференцируем по c:

–2(z–c)=0

Исключая из двух уравнений c, получим x2+y2=R2

Это - уравнение кругового цилиндра, осью которого является ось OZ и который касается каждой из сфер вдоль окружности.

7.2.1. Характеристика семейства поверхностей

Значение параметра c, вообще говоря, изменяется при пере-

187

мещении точки по огибающей. Однако, можно искать на огибающей такие особые геометрические места, в точках которых параметр сохраняет постоянное значение.

При таком условии уравнения (7.14)

F(x, y, z, c) 0 ; Fc (x, y, z, c) 0

определяют две поверхности, а место общих точек этих поверхностей есть некоторая кривая, принадлежащая огибающей. Всем точкам этой кривой соответствует одно и то же значение параметра c.

Эта кривая называется характеристикой семейства.

Так как все точки характеристики принадлежат в силу (7.14А) также некоторой поверхности семейства, то характеристика есть линия, вдоль которой огибающая касается некоторой фиксированной поверхности семейства (рис. 60).

(рис. 60)

7.2.2. Ребро возврата.

Характеристики образуют на огибающей поверхности семейство линий, зависящее от одного параметра. Если это семейство имеет огибающую, то

она называется ребром возврата данного семейства поверхностей.

Предположим, что рассматриваемое семейство поверхностей

имеет ребро возврата, заданное уравнением r r (t) .

Подставляя выражение координат точки кривой в уравнения (7.14), мы обратим их в тождества, так как по определению ребро возврата принадлежит огибающей.

Дифференцируя условие (7.14В), найдем

Но касательный вектор ребра возврата должен совпадать в каждой его точке с касательным вектором соответствующей ха-

188

рактеристики и поэтому должен быть перпендикулярен к нормальному вектору всякой поверхности, проходящей через эту характеристику. Но одна из таких поверхностей выражается уравнением (7.14В)

что значение параметра c меняется при движении по ребру возврата, получим из (7.16)

Fcc 0

Таким образом, координаты точки ребра возврата должны удовлетворять трем уравнениям

F(x, y, z, c) 0 ; Fc (x, y, z, c) 0 ; Fcc (x, y, z, c) 0 (7.17)

Разрешая эти уравнения относительно x, y, z, мы можем определить их в зависимости от параметра с и получить парамет-

вует.

В этом случае, соответственно значению c, на каждой поверхности семейства найдется точка, принадлежащая ребру возврата. Эта точка называется характеристической точкой данного семейства поверхностей.

Пример. Огибающая семейства шаров называется циклидой. Найти условие, при котором семейство шаров, зависящих от одного параметра, имеет огибающую.

Решение. Представим уравнение семейства в виде

Из данных уравнений следует, что характеристика семейства

189

есть окружность, расположенная в плоскости (**), которая параллельна нормальной плоскости линии центров и отстоит от центра соответствующей сферы на расстоянии, равном

k dSdk

Эта окружность (а вместе с ней и сама циклида) действительна при условии

dk 1 . dS

В частности, если все сферы семейства имеют одинаковый радиус, то поверхность действительна, а характеристиками являются большие круги сфер семейства и расположены в нормальных плоскостях линии центров.

7.3. Семейство поверхностей, содержащее два параметра.

Уравнение такого семейства имеет вид

F(x, y, z, a,b) 0 (7.18)

Как и в рассмотренном случае, исключая параметры a и b из данного уравнения и уравнений

получим поверхность (S), которая касается поверхностей семейства (7.18). Но в данном случае касание будет иметь место не вдоль линии, но лишь в некоторой точке. Действительно, фиксируем значения a=a0 и b=b0. С одной стороны мы получим определенную поверхность (S0) из семейства (7.18), а с другой стороны, подставляя a=a0 и b=b0 в три уравнения (7.18) и (7.19), получим, вообще говоря, некоторую точку M0 на поверхности (S). Эта точка M0 и будет общей точкой у (S) и (S0).

Пример. Найти огибающую семейства сфер с центром на плоскости XOY и заданным радиусом R: (x–a)2+(y–b) 2+z2=R2. Решение. Дифференцируя по a и b, получим

–2(x–a)=0, –2(y–b)=0.

Исключая a и b, приходим к уравнению Z2=R2. Следовательно,

190

огибающая будет состоять из двух параллельных плоскостей Z=R и Z=–R, которые касаются каждой их сфер в некоторой точке.

7.4. Развертывающиеся поверхности.

В качестве частного случая рассмотрим семейство плоскостей с одним параметром a:

A(a)x+B(a)y+C(a)z+D(a)=0.

Или в векторной форме

Обозначим дифференцирование по параметру точкой. Полу-

чим уравнение

Fa (x, y, z, a) N (a)r D 0 (7.21)

При фиксированном значении a оба уравнения определяют характеристику семейства, если она существует. Так как (7.21) есть уравнение плоскости, то характеристикой будет прямая линия пересечения плоскостей (7.20) и (7.21). Эта прямая существует, если нормальные векторы этих плоскостей не кол-

линеарны. В противном случае

N N ,

а это значит, что N есть вектор неизменного направления и все плоскости семейства параллельны между собой. Огибающей у такого семейства, очевидно, нет. Поэтому данный случай в дальнейшем рассматривать не будем, предполагая, что направление нормального вектора плоскостей меняется вместе с параметром a.

Возвращаясь к общему случаю, присоединим к уравнениям

191

должен удовлетворять радиус-вектор характеристической точки семейства.

Так как эти уравнения линейны, то для их однозначной разрешимости относительно необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был отличен от нуля. Этот определитель имеет вид

В этом случае система (7.22 ) разрешима относительно радиуса вектора характеристической точки и определяет его в

Если данное уравнение определяет кривую, то это есть ребро возврата. Посмотрим, как связана плоскость семейства с этой кривой.

Так как характеристика, определяемая пересечением плоскостей ( ) и ( ) касается ребра возврата, то нормальные векто-

ры этих плоскостей должны быть перпендикулярны его касательному вектору, так что

Дифференцируя тождество (7.25), получаем

N r N r 0

192