Учебное пособие 2001
.pdf
развертывающуюся поверхность. В этих случаях = 0 или
2 ;
d = 0,
И, следовательно 
= 0, так что это возможно только для плоской кривой.
Задача для самостоятельного решения.
1. Астроидой называется огибающая семейства прямых, на которых стороны прямого угла отсекают отрезок постоянной длинны l. Найти уравнение астроиды
(рис. 68).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 68. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указание. Принять за пара- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метр семейства угол между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой и осью OX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. x |
l cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
l sin3 |
Или после исключения параметра |
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
y 3 |
|
l 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2. Доказать, что уравнение ребра возврата семейства сфер |
|||||||||||
|
|
|
постоянного радиуса имеет вид |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
k 2 |
p2 |
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
, |
|
|||
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r , |
|
|
, , p - обычные обозначения, относящиеся к линии |
||||||||
центров.
3.Тором называется огибающая семейства сфер постоянного радиуса a с центрами на окружности радиуса b («бублик»). Найти уравнение тора, предположив, что центры расположены на окружности
203
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
be . |
|
||||
Ответ. 4b2 x2 y2 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
b2 a2 2. |
||||
4. Найти ребро возврата семейства плоскостей |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
0. |
|
ae |
|
|
bk |
r |
|
||||
Ответ. Винтовая линия |
|
|
c |
|
|
c |
|
||
r |
|
|
e1 |
|
|
|
k |
||
|
a |
|
b |
||||||
5.Найти огибающую и ребро возврата семейства плоскостей
a3 a2 x ay z |
0 |
||
Ответ. |
4x3 z |
x2 y2 |
18xyz 4 y3 27z2 0 |
|
3a; y 3a2 ; z a3 |
||
|
x |
||
6.Найти огибающую семейства плоскостей
xcos
ysin
zsin
S
и доказать что она будет цилиндрической поверхностью Ответ. x2 y2 z2 2 yz 1 0
7. Найти огибающую семейства плоскостей a2 x 2ay 2z 2a
и доказать, что она будет конической поверхностью.
Ответ. 1 y 2 2 1 y y 2xz 2 1 y
8. Найти характеристики семейств соприкасающихся и
спрямляющих плоскостей кривой |
|
|
||||||||
r |
r (S). |
|||||||||
Ответ. |
|
|
|
|
|
( |
|
k |
|
|
|
r |
; |
|
r |
|
). |
|
|||
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1975.
2.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа.,1973.
3.Толстов Г.П. Элементы математического анализа.
204
М.: Наука, 1974.
4.Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: ГИТТЛ,
1957.
5.Новиков С.П., Фоменко Ф.Т. Эдементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Наука, 1987.
6.Норден В.А. Дифференциальная геометрия. М.: Учпед-
гиз, 1948.
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение |
3 |
1. Вектор-функция скалярного аргумента |
4 |
1.1. Определение |
4 |
1.2. Операции над вектор-функциями |
6 |
1.3. Свойства пределов для вектор-функций |
7 |
1.4. Свойства непрерывности вектор-функции |
7 |
1.5. Свойства дифференцируемой вектор-функции. |
8 |
2. Векторное уравнение пространственной кривой. |
12 |
2.1. Касательная к пространственной кривой. |
|
Нормальная плоскость |
13 |
2.2. Направляющие косинусы касательной |
16 |
2.3.Еденичный вектор касательной к пространственной |
|
кривой |
16 |
2.3.2. Переменная дуга в роли параметра |
19 |
2.3.3. Единичный вектор касательной |
20 |
2.4 Ориентировочные линии |
|
2.4.1 Параметрическое представление |
24 |
2.4.2. Непараметрическое представление |
26 |
2.4.3 Формулы в полярных координатах |
27 |
2.4.4. Единичный нормальный вектор |
30 |
2.4.5. Задачи для самостоятельного решения |
31 |
3. Дифференциальная геометрия плоских кривых |
38 |
3.1 Кривизна плоской кривой |
39 |
3.2. Формулы для кривизны плоской кривой. |
41 |
3.2.1. Параметрическое задание кривой |
41 |
3.2.2. Кривая задана явным уравнением свойства кривизны 43 3.2.3 Кривая задана уравнением в полярных координатах 45
205
3.2.4. Окружность кривизны |
|
|
|
|
|
|
(соприкасающаяся окружность), центр кривизны |
|
46 |
||||
3.3. Эволюта и эвольвенты |
|
|
|
|
49 |
|
3.3.1. Свойства эволюты и эвольвенты |
|
|
53 |
|||
3.3.2. Эвольвента как развертка эволюты |
|
|
56 |
|||
3.4. |
Приложение |
к |
задачам |
механики |
точки |
|
57 |
|
|
|
|
|
|
3.4.1. Вращательное движение |
|
|
|
57 |
|
|
3.4.2. Произвольное плоское движение |
|
|
|
|||
Тангенциальное и нормальное ускорения |
|
|
58 |
|||
3.4.3 |
Движение |
по |
заданной |
траектории |
||
61 |
|
|
|
|
|
|
3.4.4. Движение по наклонной плоскости |
|
|
64 |
|||
3.4.5. Математический маятник |
|
|
|
64 |
||
3.4.6. Решение задач о движении |
|
|
|
|
||
по заданной траектории в общем случае |
|
|
65 |
|||
3.4.7. Исследование движения |
|
|
|
67 |
||
3.4.8. Циклоидальный маятник |
|
|
|
69 |
||
3.5. Задачи для самостоятельного решения |
|
|
71 |
|||
4.Дифференциальная геометрия |
|
|
|
|
||
кривых в пространстве |
|
|
|
|
74 |
|
4.1. Кривизна пространственной кривой |
|
|
74 |
|||
4.2 Формулы для вычисления кривизны |
|
|
75 |
|||
4.3. Основные элементы кривой в пространстве |
|
79 |
||||
4.3.1 Кручение |
|
|
|
|
79 |
|
4.3.2. Вычисление кривизны |
|
|
|
|
81 |
|
4.3.3.1. Вычисление кривизны |
|
|
|
|||
в |
случае |
произвольного |
|
параметра |
||
83 |
|
|
|
|
|
|
4.3.4.2. Вычисление кручения кривой |
|
|
|
|||
в |
случае |
произвольного |
|
параметра |
||
87 |
|
|
|
|
|
|
4.3.4 |
|
Формулы |
|
|
Френе |
|
91 |
|
|
|
|
|
|
4.4. Понятие о естественном трѐхграннике |
|
|
93 |
|||
4.5. |
Винтовые |
|
линии. |
|
|
Свойства |
96 |
|
|
|
|
|
|
206
4.6 Некоторые приложения к механике. |
|
|||
Скорость |
и |
ускорение |
движущейся |
точки. |
99 |
|
|
|
|
4.7. Задачи для самостоятельного решения |
106 |
|||
5. Дифференциальная геометрия поверхностей |
111 |
|||
5.1. Теория поверхностей в трехмерном пространстве |
111 |
|||
5.1.1. Общие замечания |
|
|
111 |
|
5.2. Параметрический способ задания поверхностей |
112 |
|||
5.3. Криволинейные координаты |
|
114 |
||
5.4. Примеры криволинейных координат |
118 |
|||
5.5. Векторно-параметрическое уравнение поверхности |
119 |
|||
5.6. Касательная прямая |
|
|
122 |
|
5.7. Касательная плоскость |
|
124 |
||
5.8 Длина дуги. Первая дифференциальная |
|
|||
квадратичная форма Гаусса |
|
126 |
||
5.8.1. Угол между двумя линиями |
|
129 |
||
5.8.2. Площадь поверхности |
|
130 |
||
5.9.Задачи для самостоятельного решения |
131 |
|||
6.Кривизна линий на поверхности |
|
133 |
||
6.1.Нормальная кривизна |
|
133 |
||
6.2. Вторая дифференциальная квадратичная |
|
|||
форма Гаусса |
|
|
|
133 |
6.3 Кривизна кривой и ее соприкасающаяся плоскость |
||||
137 |
|
|
|
|
6.3.1. Нормальное сечение |
|
139 |
||
6.3.2. Теорема Менье |
|
|
140 |
|
6.4. Индикатриса Дюпена |
|
143 |
||
6.4.1. Формула Эйлера. Главные радиусы кривизны. |
146 |
|||
6.5. Определение главных радиусов кривизны |
|
|||
и главных направлений |
|
|
149 |
|
6.6. Линии кривизны. Теорема Дюпена |
|
152 |
||
6.7 Радиусы кривизны поверхности вращения |
158 |
|||
6.7 Классификация точек поверхности |
159 |
|||
6.7.1 Общие замечания |
|
|
159 |
|
6.7.2 Строение поверхности вблизи эллиптической точки 161 6.7.3. Строение поверхности вблизи
207
гиперболической точки |
162 |
6.7.4. Строение поверхности вблизи |
|
параболической точки. |
165 |
6.8. Линия пересечения поверхности |
|
с ее касательной плоскостью |
166 |
6.9. Точки поверхностей II порядка |
167 |
6.10. Сферическое отображение. Гауссова кривизна |
168 |
6.11.Задачи для самостоятельного решения |
171 |
6.12 Асимптотические линии |
176 |
7. Огибающие семейства кривых и поверхностей |
178 |
7.1. Огибающая плоских кривых |
178 |
7.2. Огибающая семейства поверхностей |
182 |
7.2.1. Характеристика семейства поверхностей |
185 |
7.2.2. Ребро возврата |
186 |
7.3. Семейство поверхностей, содержащее два параметра. |
187 |
7.4. Развертывающиеся поверхности |
188 |
7.4.2. Полярная поверхность |
192 |
7.4.2. Соприкасающаяся сфера. |
195 |
7.4.3. Огибающая касательных плоскостей |
198 |
7.4.4. Задачи для самостоятельного решения |
200 |
8. Библиографический список |
202 |
208