Учебное пособие 2001

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(см.(2.12)) на отрезке ,

(см.(2.12)) на отрезке ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>


кущей (вектор	r	) и направлением вектора		dr	стремится к 0
кущей (вектор	t	) и направлением вектора		dt	стремится к 0
	t			dt
при t 0.
Это значит, что в точке			P годограф имеет касательную,

направление которой задается вектором ddtr . Последний, в си-

лу сказанного выше, всегда направлен в сторону возрастания t

(рис.6).

			dx	dy	dz
Если	dr	0 , т.е.				0 , то соответствующая точ-
	dt		dt	dt	dt

ка годографа называется особой точкой. В этом случае нельзя


утверждать, что вектор	r	к чему-то приближается по на-
утверждать, что вектор	t	к чему-то приближается по на-
	t

правлению, т.е. нельзя утверждать, что существует касательная к годографу. Она и на самом деле может не существовать в особой точке.

Для вектор - функций справедливы следующие правила дифференцирования:

Если

const, то

0 ;

. k

const;

u t

;

u r

, где u

;

r1r2

r1 r2

r1r2 ;

Если

r(t) ,

где t

t(u) ,

то

- правило диффе-

du dt du

ренцирования сложной вектор - функции.

Докажем

Преобразуем

левую

часть

равенства:

r r

x x

y y

z z

x x'

y y'

z z'

1 2

x x'

y y

z z'

r ' r

r r

1 2

Докажем

правило

Рассмотрим

вектор-функцию

r r1 r2 . Для нее

r2 r1

r1 r2

r2 r1

поэтому

r2 .

В пределе при

0 получаем

d r

r '

. Что и

требовалось доказать.

Дифференциал векторной функции (см. III) можно записать так:

d r x' t i y' t j z'' t k dt ;

т.е. d r r' t dt

Дифференциал вектор-функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной. Из

первого равенства III следует, что	d r		dx2 dy2 dz2		dS	,

где dS - абсолютная величина дифференциала дуги годографа

вектор-функции r r t .

Замечание: Всюду рассматривалась вектор-функция в пространстве. Однако все сказанное справедливо и для векторфункции на плоскости:

r	xi	y j	(1.1')
x	x t ,	y y t	(1.2')

(нужно лишь в соответствующих формулах убрать третью координату z).

2. Векторное уравнение пространственной кривой.

Пусть кривая С задана параметрическими уравнениями

x x t , y y t , z z t ,

(2.1)

где x t , y t , z t заданы и непрерывны в некотором промежутке изменения параметра t.

z	P
	C

		y
x		Рис. 7.
		Рис. 7.
Рассмотрим радиус-вектор текущей точки			P кривой С
(рис.7). Очевидно,
x	xi	y j zk	(2.2)
где x, y, z определяются равенствами (1).
Следовательно,	r	оказывается вектор-функцией скалярно-
го аргумента t:
r	r(t)		(2.2 )

для которой кривая C служит годографом. Уравнение ( 2 ) (или ( 2)) называется векторным уравнением кривой C . Таким

образом, одно векторное уравнение заменяет три координатных уравнения.

2.1. Касательная к пространственной кривой. Нормальная плоскость.

Пусть функции (2.1) дифференцируемы в точке						P(x, y, z)
кривой C , причем точка		P	– неособая. Это значит,				что
x (t), y (t), z (t) одновременно в 0 не обращаются.
В силу сказанного в п. 1.5, в этой точке существует каса-

тельная, направление	которой		определяется вектором				dr	.
тельная, направление	которой		определяется вектором					.
Обозначим через радиус – вектор текущей точки							dt
Обозначим через радиус – вектор текущей точки						M (x, y, z)
касательной (рис.8)

		Xi	Yj	Zk
z	M(x,y,z)
P(x,y,z)
		C
r
O
O	y			Нормальная плос-
	y				кость
					кость
x
Рис. 8.				Рис.9.
Очевидно (из векторного треугольника OPM );

		r	r

где – некоторый скаляр, изменяющийся при перемещении точки M . Т.е.

	r				(2.3)
	r	r			(2.3)
векторное уравнение касательной к кривой C в точке P . Ар-
гументом служит параметр .			При изменении	от	до
конец вектора	(точка M )		пробегает всю касательную.
Векторному уравнению (2.3) соответствует три коорди-
натных уравнения
X x	x,Y	y y, Z	z z		(2.4)

-параметрические уравнения касательной ( -параметр).

Исключив из трех уравнений (4 ) получим:

X x	Y y	Z z	(2.5)

x	y	z
x	y	z

-канонические уравнения касательной прямой к кривой C .

Нормальной плоскостью к кривой C в точке P называется плоскость, проходящая через точку P перпендикулярно к касательной (рис.9).

Уравнение любой плоскости, проходящей через точку P , имеет вид:

A( X x) B(Y y) C(Z z) 0

( X ,Y, Z - текущие координаты точки плоскости). В силу условия перпендикулярной прямой и плоскости A = x , B = y и

C = z (направляющий вектор касательной одновременно является и нормальным вектором нормальной плоскости). Поэтому уравнение нормальной плоскости в точке P имеет вид:

X x x

Y y y

Z z z 0

(2.6)

Пример: Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии.

x cos t, y sin t, z 3t


в точке Р, для которой t									.
в точке Р, для которой t								3	.
Решение: В данном случае для любого t
				x			sin t ;			y	cos t ; z	3 .
Поэтому при t				имеем
Поэтому при t			3	имеем
	1
x	1	,	y		3	,	z			;	x	3	, y	1	, z 3
x	2	,	y	2		,	z			;	x	2	, y	2	, z 3
	2			2								2		2

Следовательно, для касательной получаем уравнение (см. (5))

x	1	y		3
					z
	2			2			,


			1			3
	3
	3

адля нормальной плоскости (из (6)):

x	1		3	y	3	1		z 3 0 .

	2		2		2	2
	2		2		2	2
Или

		x	1	y	3
							z
			2		2				;


					1			6
			3
			3

	1		3
3 x	1	y	3	z	6 0

	2		2
	2		2

	3x	y 6z		6	0

2.2. Направляющие косинусы касательной.

Направляющими косинусами вектора		0 называются
	a

косинусы углов, образованных данными вектором с положительными направляющими осей OX ,OY и OZ :

cos

;

cos

; cos

Поэтому для касательного вектора
Поэтому для касательного вектора	r	xi

щие косинусы получаются по формулам:

cos


yj	zk	направляю-

(2.7)

2.3.Еденичный вектор касательной к пространственной кривой.

2.3.1.Длина кривой линии.

Как определить длину кривой линии? Очевидный ответ таков: нужно выпрямить кривую и измерить полученный прямолинейный отрезок – вот и получится длина кривой. На самом деле все не так просто. Можно выпрямить кусок изо-

гнутой проволоки или нити, но как быть с орбитой какой– нибудь планеты или траекторией движущегося тела?

	Пусть непрерывная кривая								задана параметрическим
	Пусть непрерывная кривая							AB	задана параметрическим
уравнениями.			На			кривой		рассмотрим		ряд	точек
P	A, P ,, P ,...,, P			, P		B,	соответствующих каким – нибудь
0	1 2	n 1			n
последовательным значениям параметра t :
	t0		t1		t2	...	tn 1	tn	.		(2.8)

Соединяя последовательно точки прямолинейными отрезками (рис.10), получим ломанную, вписанную в дугу AB . Обозначим длину этой ломано через Sn .

		P2
	P1	Pn-1
		Pn-1
A=P0		Pn=B
		Рис.10

Будем переходить ко все более и более мелким разбиениям отрезка , на части (см. (2.8)). При этом будет неогра-

ниченно увеличиваться число звеньев ломаной линии и неограниченно уменьшатся длина каждого звена.

При этом оказывается, что величина Sn				обязательно будет
иметь конечный или бесконечный предел S , не зависящий от
выбора точек деления
	S	lim	Sn	(2.9)
		max t	0

Эта величина S и принимается за длину кривой AB .Если S -
конечная величина, то кривая называется				спрямляемой, если
S	, то кривая называется не спрямляемой.

a)	Пусть дуга AB	- плоская, ее параметрические уравне-
	ния:
	x	x(t), y	y(t)	(2.10)

Теорема: Если функции (2.10) имеют на отрезке , непре-

рывные по t производные, то кривая спрямляема и ее длина выражается формулой:

S x2 y2 dt

Из математического анализа известны выражения для дифференциала длины дуги и производной:


dS	x2	y2 dt	(2.11)
dS
dS	x2	y2	(2.12)

dt
dt

b) Пусть теперь дуга AB - пространственная, с параметрическими уравнениями:

x x(t), y y(t), z z(t)

(2.13)

Тогда справедлива теорема, аналогичная предыдущей:

Теорема: Если функции (2.13) имеют на отрезке , непре-

рывные производные по t , то кривая спрямляема и ее длина выражается формулой:

z2 dt

Для дифференциала длины дуги и производной имеют место формулы


dS	x2	y2	z2 dt		(2.14)

(2.15)

2.3.2. Переменная дуга в роли параметра.

Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями:

x x(t), y y(t)

P(x,y)

	B
S
Рис.11.
Точка A получатся при t	, точка B - при t	(рис.11).
Каждому значению t из отрезка	, соответствует опреде-
ленное положение точки P(x, y)	на кривой, тем самым, опре-

деленное значение длины переменной дуги AP , т.е.		S S(t) .

Дифференциал и производная этой функции вычисляются по формулам (2.11) и (2.12) соответственно.

Будем считать,			что на кривой		нет особых точек, т.е.
Будем считать,			что на кривой	AB	нет особых точек, т.е.
для всех t	,	x(t), y(t) не обращаются одновременно в 0.

При указанных условиях функция S S(t) является дифференцируемой (и, следовательно, непрерывной) и возрас-

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf
#
30.04.20223.89 Mб4Учебное пособие 2006.pdf