Учебное пособие 2001

или, учитывая (7.26)

N r 0

Таким образом, плоскость семейства, касаясь ребра возврата, содержит вектор второй производной и следовательно, является соприкасающейся плоскостью этой линии.

Итак, если ребро возврата семейства плоскостей совпадает с некоторой пространственной кривой, то все характеристики семейства касаются этой кривой. А плоскости семейства являются еѐ соприкасающимися плоскостями,

При условии разрешимости системы (7.22 ) относительно радиуса вектора характеристической точки может оказаться, что он не зависит от параметра. В таком случае (7.23 ) заменится уравнением

и не определит рѐбра возврата, как кривой линии. Однако теперь можно сказать, что все характеристики семейства прохо-

дят через точку r r0 и огибающая образована движением

прямой, проходящей через неподвижную точку, т.е. является конической поверхностью.

Следовательно, если все характеристики семейства плоскостей проходят через одну точку, то все плоскости семейства касаются конической поверхности, а характеристики совпада-

меняясь, остаѐтся параллельным постоянной плоскости, и сама плоскость семейства всѐ время перпендикулярна этой же плоскости. Так как характеристика семейства является предельным положением прямой пересечения двух плоскостей семейства, то и они перпендикулярны той же плоскости, и следовательно, параллельны между собой. Отсюда следует, что огибающая образована движением прямой постоянного направления и, следовательно, является цилиндрической поверхностью.

193

Следовательно, если характеристики семейства параллельных между собой, то огибающая этого семейства есть цилиндрическая поверхность.

Огибающие семейства плоскостей называются развѐртывающимися поверхностями. Смысл этого названия будет установлен ниже.

Таким образом, существует при типа развѐртывающихся поверхностей (рис. 61)

1. Поверхность, образованная касательными к пространственной кривой (поверхность касательных) рис. 61 (а).

2.Конические поверхности (рис. 62 б).

3.Цилиндрические поверхности (рис. 61 в).

К числу развѐртывающихся поверхностей следует отнести и плоскость, которая очевидно может рассматриваться и как поверхность касательных плоской кривой, и как коническая, и как цилиндрическая поверхность с прямолинейной направляющей.

7.4.2. Полярная поверхность.

Переходя к рассмотрению развѐртывающихся поверхностей, связанных с пространственной кривой, исследуем сначала огибающую семейства нормальных плоскостей.

Огибающая семейства нормальных плоскостей называется полярной поверхностью данной кривой.

Пусть дана кривая r r (s) . Уравнение нормальной плоскости этой кривой имеет вид

194

Дифференцируя это уравнение по параметру s, получим систему уравнений

определяющих характеристику полярной поверхности. Преобразуем левую часть уравнения (В), воспользовавшись формулами Френе

Таким образом, радиус-вектор любой точки характеристики

рис. 62

Уравнение (7.28 А) или равносильное ему (7.29) определяет плоскость, параллельную спрямляющей плоскости, так как еѐ нормальный вектор направлен по главной

нормали.

Так как эта плоскость пересекает нормальную плоскость по характеристике семейства, то эти характеристики параллельны бинормали.

Теперь нетрудно установить положение характеристики в нормальной плоскости. Из (7.29) следует, что проекция векто-

ра r , соединяющего произвольную точку с кривой произ-

вольной точкой характеристики, равна радиусу кривизны. Отсюда следует, что эта характеристика проходит через центр кривизны (рис 62).

195

Таким образом, характеристика полярной поверхности есть прямая, параллельная биномам и проходящая через центр кривизны, соответствующей точки данной кривой.

Эту прямую так же называют осью кривизны данной линии. Пример. Найти ось кривизны и полярную поверхность кривой.

откуда

 cos , sin ,

Исключая , получим уравнение полярной поверхности в виде

Это - круговой конус. Сама кривая лежит на сфере и называется сферической эвольвентой круга.

7.4.3. Характеристическая точка полярной поверхности.

Из общей теории развѐртывающихся поверхностей следует, что радиус-вектор характеристической точки полярной поверхности должен удовлетворять системе уравнений

196

Преобразуя последнее из них, воспользуемся результатами преобразования уравнения (2.48). Получим

Однако, в силу (7.30В) первое слагаемое обращается в ноль, откуда

Искомая характеристическая точка лежит на оси кривизны, вследствие чего ее радиус-вектор можно представить в виде (рис.

63).

Подставляя это выражение в

(7.31), получим

0 .

Обозначим так называемый «ра-

Тогда окончательное выражение для радиуса-вектора характеристической точки полярной поверхности

(7.33)

Если рассматривать параметр S в правой части этого равенства как переменное, то оно же даѐт уравнение ребра возврата полярной поверхности. Очевидно что (7.33) имеет смысл только для неплоской кривой. Если кривая плоская, то еѐ полярная поверхность - цилиндрическая и не имеет характеристических точек.

197

7.4.4. Соприкасающаяся сфера.

Соприкасающейся сферой называется предельное положение сферы, Проходящей через четыре бесконечно сближающиеся точки данной кривой. Запишем уравнение этой сферы в виде

центра; R – радиус сферы.

Согласно обшей теории соприкосновения. Подстановка радиуса – вектора кривой в уравнение (7.34) и три других, полученных дифференцированием, должна обратить их в тождество, но

Так что указанная система равенств имеет вид

Первое уравнение определяет радиус искомой сферы. Сравнив последние три уравнения с (7.30) . видно, что система (7.30) удовлетворяется при подстановке в неѐ вместо текущего радиуса – вектора - радиус - вектор центра соприкасающейся

сферы.

Отсюда следует, что центр соприкасающейся сферы совпадает с характеристической точкой полярной поверхности, и следовательно, выражается, как и в (7.33) формулой

Учитывая соотношение (А), получим для радиуса соприкасающейся сферы выражение

198

Отметим частные случаи.

1.Плоская кривая не имеет соприкасающейся сферы, что следует из того, что четыре точки плоскости, вообще говоря, не лежат на одной сфере. Кроме того, (7.35) теряет смысл, если кручение равно нулю.

2.Сферическая кривая имеет своей соприкасающейся сферой ту сферу, на которой она расположена. Это можно доказать непосредственно, имея в виду, что именно эта сфера проходит через любые четыре точки данной кривой.

Пример. Доказать что радиус соприкасающейся сферы не зависит от точки на кривой, только у сферических кривых и у кривых постоянной кривизны и совпадает в последнем случае с радиусом кривизны.

Решение. 1. Дифференцируя соотношение

неѐ очевидно R P

В противном случае дифференцирование (7.35) даѐт

откуда следует, что кривые расположены на сфере с центром в точке 0 const и с радиусом R const .

Пример 2. Найти сопровождающий трехгранник ребра возврата полярной поверхности и соотношение между кривизнами и

кручением этой линии и данной кривой (рис. 64)

199

Нормальная плоскость есть соприкасающаяся плоскость кривой c , поэтому

Из того, что углы поворота касательной и бинормали для кривой c равны углам поворота бинормали и касательной, сле-

дует

c k

kc

7.4.5. Огибающая касательных плоскостей

(рис. 65), то уравнение семейства этих плоскостей будет иметь

Дифференцируя это уравнение по параметру t . От которого зависит r

и n , и учитывая, что n перпендикулярен касательному вектору кривой, получим

200

Отсюда следует, что характеристика семейства плоскостей, касающихся данной кривой, проходит через точку прикосновения этой кривой соответствующей плоскости семейства.

Это значит, что кривая, касающаяся каждой плоскости семейства, лежит на огибающей этого семейства.

Зная точку, через которую проходит характеристика, для полного еѐ определения достаточно вычислить еѐ направляю-

щий вектор m . Для этого примем во внимание, что m перпендикулярен нормальным векторам плоскостей (7.37), (7.38) и может быть определѐн условиями

m n 0,m n 0

Дифференцируя первое из этих условий, получим

Очевидно, что для выполнения одного из них необходимо и достаточно, чтобы

вой, а вектор m перпендикулярен им в следствие (7.41) и (7.42) и следовательно, направлены по касательной, так что

m r (7.43)

Обратно, из (7.43) следует (7.41) и (7.42), и если вектор направлен по нормали, то для него выполняется условие (7.39).

Следовательно, для того, чтобы семейство нормалей данной кивой образовало развѐртывающуюся поверхность, необходимо и достаточно, чтобы производная единичного вектора этих нормалей была коллинеарна касательной этой кривой.

201

где - угол, который он образует с главной нормалью этой линии.

Дифференцируя последнее равенство и пользуясь формулами Френе, логично получить

которое и позволяет найти искомый угол в виде интеграла

ds.

Таким образом, видим, что из нормалей всякой кривой можно составить развѐртывающуюся поверхность с точностью до постоянной интегрирования.

Это обстоятельство имеет простой геометрический смысл. Предположим, что из нормалей данной кривой построены две различные развѐртывающиеся поверхности, причѐм их харак-

2 - 1

рис. 67.

Отсюда следует, что если нормали, образующие развѐртывающуюся поверхность, повернуть в нормальных плоскостях на постоянный угол, то они и после поворота будут образовывать развѐртывающуюся поверхность

(рис. 67). Формула ( ) позволяет решить вопрос о виде кривых, у которых главные нормали или бинормали образуют

202