Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5172 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский национальный исследовательский технологический университет
Предмет:
Высшая математика
Файл:

9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
04.07.2021
Размер:
8.45 Mб
Скачать
☆

¥

x = òt x- -t t —

x h

¥ ¥

M x × h = ò ò xyj x y x y.

-¥ -¥

x h

M x × h = M x) × M h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

h

 

 

 

 

 

 

 

 

Ì kx r h = kM x

rÌ h k r Î R

 

 

 

 

x

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D kx r h = k D x r D h

 

 

x h

 

 

D kx

r h

= k D x

 

r D h

krÌ

x - m x

h - m h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x h

 

 

 

 

 

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x h =

M x ×h - M x M h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s x s h

 

 

 

 

 

s x

s h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

h =

x

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

h £

R x h

=

 

x h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

z =

 

 

x h

 

 

 

 

 

 

 

 

ïìa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j x y

=

x + y

x Î D

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

x Ï D

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

""

D £ x £ p

£ y £ p

 

R x, h

a

 

 

¥

¥

 

p p

 

ò ò j x y x y = a ò ò

x + y x y = Þ

-¥ -¥

 

 

 

p

 

p

p

 

 

 

 

Þ -a ò x ×

x + y

 

= a ò

x + x x = a = Þ a =

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

M x =

 

 

ò ò x

x + y x y =

 

 

ò x

x +

x x

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M x

 

= M h =

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

D x = M x - M x =

 

ò ò x

 

 

x + y x y -

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

ò x

 

x + x x -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D h = D x

 

= p

+ p

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

M x × h =

 

ò ò xy

 

 

x + y x y =

 

ò x x ò y

 

x + y y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ò x

 

x + x - x x =

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x x = p -

 

- p p + p -

» -

 

 

 

 

 

35.4.3. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема

n

x x

xn

Ñ

xn = x + x + + xn n

""

Ò.:

i =

n

P xn

n®¥

xn

Ò.: m

Ò.:

x x

xn

D xi £ C

 

e

 

- M xn < e =

xi i = n

Ì xi

n

Ì xn

À

n

 

 

 

 

ð = ð À

 

 

À

 

 

 

 

m

 

 

 

e

æ

 

ö

 

P ç

 

- p

< e÷

=

n

n®¥

è

 

ø

 

x x

xn

m

s

n

xn = x + x + + xn s n

M xn = D xn =

P xn < x = x

n®¥

""!

xi i

xn

35.4.4. Случайные процессы. Марковские цепи

 

Î:

 

 

 

 

 

 

x t

 

 

 

 

 

t

t Î q

 

 

 

 

w Î W

x t

= x t w

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

x t

t Î q

 

 

 

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

q =

tn

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x t

x = x t

xn = x tn

F x x

xn = P x x x x

xn xn

 

 

 

 

n

 

 

x x

xn

 

 

 

 

x

x

xn

 

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

F x x

xn = F õ F x x

Fn xn xn -

 

 

Fi xi xi -

 

 

 

xi

 

 

xi

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

xn

"""

-

Литература: 1.

2.

5.

36. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Опорный конспект ¹ 36

36.1. Основные понятия математической статистики

Î:

 

 

 

 

õ õ

 

 

õn

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

x

 

 

 

xl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P*

 

 

p

p

 

 

 

pl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Î õ õ

 

õn

xi -

 

 

xi

i = l

pi

= mi

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mi

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

a a

 

a

a

 

 

 

al al

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P*

 

p

 

p

 

 

 

 

pl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

""#

 

mi -

 

 

 

 

x

 

ai - ai

 

 

 

 

 

Полигон

 

 

Гистограмма

P

 

 

 

 

 

 

 

P

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

N

 

x

x

 

x

xl

 

 

a a a

al- al

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

x

£ a

x > a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

F

x = í k

 

 

 

 

 

 

 

 

ïå pi

ak - < x £ ak k= l

 

 

 

 

 

îi =

 

 

 

 

 

 

36.2. Определение неизвестных параметров распределения

 

Î:

 

 

 

 

 

Ì

D

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

M =

å xi

D =

å xi - M

 

 

 

 

n i =

 

n i =

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

l

 

 

 

 

 

 

 

M = å xi pi D = å xi - M pi

 

 

 

 

 

 

i =

 

i =

 

 

 

Ì x

D x

 

 

 

 

x

 

õ õ

õn Þ Ì x » Ì D x » D

 

 

 

Î:

 

 

 

 

 

Q - D Q + D Û Ð Q - Q £ D =

= g

D

 

 

 

 

Q

 

Q

 

 

 

F x

Q

x g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m s

m »

Þ P m - D £ m £ m + D =

DÖn s

 

 

z = x h

 

 

x y

x y

xn yn

 

""$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

x × h

M

x

× M* h

 

 

 

 

 

 

R

x,h =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

x × D

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

x × h

=

å xi yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i =

 

 

 

 

 

 

 

36.3. Проверка статистических гипотез

 

 

 

 

 

 

Í Ì x = Ì h Í Ì x

 

Ì h

 

x h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

l

 

 

 

 

 

m*

m*

 

 

 

D

x

D

h

 

 

 

 

 

 

x

 

h

 

 

 

 

 

 

 

n ³

l ³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = m*x - m*h

D* x

n + D* h

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ð Z

Z

 

= a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

- a ö

 

 

 

 

 

 

 

 

Í

Z

=

-

ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

Z

Z

 

 

 

 

Í

 

 

 

 

 

 

Í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Í

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

=

P x

x

x

 

 

 

õ

õ

 

õn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai -

ai

i =

l

Þ

 

 

 

 

 

 

mi

npi

pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l mi

- npi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

= å

 

npi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.(Пирсона): P c

< x

®

òjk

x x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n®¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jk x

 

 

 

 

 

 

c

k = l -

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

Í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P c > ca = ò jk x x = a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ca

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ca

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ca

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

""%

c ca

Í

c £ ca

 

 

Í

 

 

 

36.1. Основные понятия математической статистики. Построение эмпирического закона распределения

 

 

 

n

 

n

õ õ

õn

x

 

 

Î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

n

õ õ

õn

 

 

x

 

n

 

 

x

 

 

Î

 

 

 

õi

Î õ õ

õn i = l

 

 

pi = mi n

mi

õi

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

x

x

x

 

 

xl

å pi =

 

 

 

 

 

 

P

p

p

 

 

pl

i=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

x

xxl

""&

Пример 1.

x

x

mi

pi

x

 

a

a

a

a

al - al

 

 

 

pi = mi n

mi

x

 

ai -

ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

x

a a

 

a

a

 

al al

 

 

 

 

 

 

 

p

 

p

 

pl

 

 

 

 

 

 

 

õi ði

i = l

õi

ai - ai

""'

P

 

 

 

 

 

Полигон

 

p

 

 

 

p

 

 

 

pl -

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

x

x

x

x

xl

 

 

Ðèñ. 36.1

 

PГистограмма

p

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

x

a

a ai

ai

al- al

Ðèñ. 36.2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = l

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ði

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Î:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

x £ a

 

 

 

 

 

 

 

ï k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

= íå pi ak - < x £ ak k = l

 

 

 

 

ïi=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

x > al

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dõi = ai - ai - i = l

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

Пример 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi =

 

 

xi =

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

Î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dõ =

-

 

ai - ai

F x

=

"#

Соседние файлы в предмете Высшая математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности