9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

О: Степенным рядом (с.р.) называется ф.р. вида

n =0

Для того чтобы найти область сходимости с.р., докажем теорему

Абеля.

Ò.(Абеля): Если степенной ряд (30.2) сходится при х = х1 ¹ 0, то он абсолютно сходится "х : |x| < |x1|. Если ряд (30.2) расходит-

ñÿ â ò. õ =`x1 , то он расходится "х: |x| > |`x1| n

функция, имеющая предел, ограничена, то $M > 0: |anx1n| < M "n.

Перепишем ряд (30.2) в виде

вому признаку сравнения ряд (30.3) сходится, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (30.2) сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд (30.2) расходится при x = x1. Предположим в

противоречие с утверждением теоремы, что $ х1: |x1| > |x1|, ïðè êîòî-

!%

ром ряд (30.2) сходится. Но по доказанному выше ряд (30.2) должен

тогда сходиться в т. х1. Полученное противоречие с условием доказы-

вает теорему x

30.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если х1 — точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала ( - |x1|,|x1|). Åñëè õ1 — точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точ- ках интервалов (-¥, |х1|), (|õ1|, ¥). Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на ( -R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на (-¥, -R), (R, +¥) расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R). В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на

интервалах ( -¥, -R), (R, +¥) — расходится n

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2),

а R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал схо-

димости вырождается в точку (R = 0), для других — охватывает всю ось ОХ (R = ¥). При х = R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рас-

¥

смотрим ряд из абсолютных величин его членов å an xn и приме-

n=0

ним к нему признак Даламбера:

личин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим

!%

При |x| > R ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда anxn

не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходи-

мости.

Пример: Найти радиус и интервал сходимости ряда

¥

ла: при х = 3 имеем å 1 — гармонический расходящийся ряд,

n =0 n

¥ - n -1

å ( 1)

при х = -3 — знакочередующийся ряд, сходящийся

n =0 n

условно. Область сходимости данного ряда — промежуток [-3, 3)

Ряд (30.1) сводится к ряду (30.2) заменой переменной х - х0 = t.

¥

Åñëè ðÿä å antn имеет радиус сходимости R, то ряд (30.1) сходится

n=0

абсолютно для |x - x0| < R, т.е. на интервале (x0 - R, x0 + R).

30.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Ò: Пусть функция f (x) является суммой с.р. (30.1) на (x0 -R, x0 + R). Тогда

1)f (x) дифференцируема на (x0 - R, x0 + R), причем

f ¢(x) = (a0 + a1(x - x0) + ... + an(x - x0)n +...)¢ =

= a1 + 2a2(x - x0) + 3a3(x - x0)2 + ... + nan(x - x0)n - 1+...

сходится абсолютно в этом интервале;

!%!

2) f (x) интегрируема на том же интервале, причем для х1, õ2 Î (x0 -R, x0 + R) имеем

ò f (x)dx = ò a0dx + ò a1(x - x0)dx + ... + ò an (x - x0)n dx + ... n

Доказательство см. в [1а. С. 430].

30.4. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f (x) в интервале (x0 - R, x0+R) является суммой сте-

пенного ряда (30.1):

Найдем коэффициенты a0, a1, a2, a3, ..., an, ... этого ряда. Продиф-

ференцируем последовательно тождество (30.5) и подставим в него

õ = õ0:

a0 = f (x0 ), a1 = f ¢(x0 ), a2 = f ¢¢(x0 ), 2!

a3 = f ¢¢¢(x0 ), ..., an = f (n)(x0), ... .

3! n!

!%"

Подставляя их в (30.5), имеем

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции f(x), а в частном случае при х0 = 0 — рядом Маклорена:

Таким образом, если функция f(x) разлагается по степеням (x - x0), то этот ряд называется рядом Тейлора и f (x) бесконечно дифференцируема в т. х = х0.

30.5. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Рассмотрим задачу, обратную поставленной в разд. 30.4. Пусть

функция f (x) бесконечно дифференцируема в т. х = х0. Составим для нее ряд Тейлора. Его сумма не всегда будет совпадать с функцией

ференцируема при х = 0, причем f (n)(0) = 0, поэтому для нее ряд

при х ¹ 0. Выясним, при каких условиях S(x) = f(x).

О: Многочленом Тейлора степени n называется частичная сумма Sn (x) = f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ) + f ¢¢(x0 ) (x - x0 )2 + ... +

!%#

Ò: Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в т. х0 функция f (x) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора

(30.6), необходимо и достаточно, чтобы lim R(x) = 0 n

n®¥

q Используя определение сходящегося ряда и выражение (30.8),

имеем следующую цепочку: f(x) — cумма (30.6) Ы

Приведем запись остаточного члена в форме Лагранжа [4. С. 168]:

где x находится между х0 è õ.

30.6.Разложение основных элементарных функций

âряд Маклорена

Разложение бесконечно дифференцируемой в т. х0 функции f (x) в ряд Тейлора (в частности, Маклорена при х0 = 0) распадается на три этапа:

1) cоставляется для функции f(x) ряд Тейлора; 2) находится интервал сходимости ряда;

30.6.1. Разложение f(x) = ex в ряд Маклорена

1) Находим производные f(x)¢(x) = ex, ..., f (n) = ex,..., ò.å. f (0) = f(x)¢(0) = f(x)¢¢(0) = ... = f (n)(0) = ... = 1, получаем ряд Маклорена для f (x) = ex по формуле (30.7):

!%$

Функция ex монотонно возрастает, поэтому еx < e|x|. Так как ряд (30.10) сходится, то по необходимому признаку сходимости

xn+1

lim = 0, т.е. формула (30.11) представляет собой произведе-

n®¥ (n+1) !

ние ограниченной функции на б.м., поэтому lim Rn (x) = 0. Таким

n®¥

образом, ex является на интервале ( -¥, +¥) суммой ряда (30.10).

30.6.2. Разложение f(x) = sin x в ряд Маклорена

1)Находим производные f ¢(x) = cos x = sin(x + p/2), f ¢¢(x) = - sin(x) =

=sin(x + 2·p/2), f ¢¢¢(x) = - cos x = sin(x + 3p/2), ..., f (n)(x) = sin(x + np/2),

..., ò.å. f (0) = 0, f ¢(0) = 1, f ¢¢(0) = 0, f ¢¢¢(0) = -1, ..., f (2n - 1)(0) = (-1)n - 1, f (2n)(0) = 0, получаем ряд Маклорена для функции f (x) = sinx :

2) Определяем интервал сходимости, применяя признак Далам-

на интервале ( - ¥, +¥) ряд сходится абсолютно.

!%%

п. 30.6.1, что f (x) = sin x является суммой ряда (30.11) на интервале (-¥, +¥).

30.6.3. Разложение f(x) = cos x в ряд Маклорена

Используя формулу cos x = (sin x)¢, получим ряд для cos x почлен-

ным дифференцированием (30.12):

На интервале (-¥, +¥) ряд сходится абсолютно.

30.6.4. Разложение (1 + x)m, m Î R,

âряд Маклорена (биномиальный ряд)

1)Находимпроизводные f ¢(x)= m(1+x)m - 1, f ¢¢(x)= m(m- 1)(1+x)m - 2,

..., f (n)(x) = m(m - 1) ... (m - n + 1)(x + 1)m - n, ..., ò.å. f (0) = 1, f ¢(0) = m,

f ¢¢(0) = m(m - 1),..., f (n)(0) = m(m - 1) ... (m - n + 1),..., получаем ряд Маклорена для f (x) = (1+x)m:

который называется биномиальным рядом (если m — натуральное число, то при n ³ m + 1 коэффициенты обращаются в нуль и получа- ем многочлен — это частный случай бинома Ньютона).

2) Определяем интервал сходимости:

!%&

на интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно. Если m не является

натуральным числом, то на (-¥, 1) И (1, +¥) ряд расходится. На концах х = -1, х = 1 сходимость исследуется при конкретном m.

Â[1а. С. 452] показано, что ряд (30.13) имеет сумму (1 + х)m.

30.6.5.Разложение f(x) = ln(1 + x) в ряд Маклорена

x dx

Используем интегральную формулу ln(1 + x) = ò1 + x.

0

Разложение (1 + х)-1 = 1 - õ + õ2 - ... + (-1)nõn + ... может быть получено из (30.13) при m = -1. Тогда

x

ln(1 + x) = ò(1 - x + x2 - ... + (-1)n xn + ...)dx =

причем ряд сходится абсолютно на интервале ( -1, 1). При х = -1

¥

имеем å 1 — гармонический расходящийся ряд, при х = 1

n=1 n

¥

å -1 n-1 1 сходится условно.

n=1 n

30.6.6. Разложение f(x) = arctg x в ряд Маклорена

Используем интегральную формулу

Разложение (1 + х2)-1 = 1 - õ2 + õ4 - ... (-1)nx2n + ... получается из разложения (1 + t)-1 ïðè t = x2, поэтому

x

arctg x = ò((1 - x2 + x4 - ... + (-1)n x2n+... )dx =

!%'

ряды сходятся условно.

30.7. Применение степенных рядов

êприближенным вычислениям

30.7.1.Вычисление значений функций с помощью рядов

Пусть функция f (x) является суммой ряда Тейлора (30.6), сходящегося абсолютно в интервале (х0 - R, x0 + R). Åñëè ò. õ1 Î (õ0 - R,

ность, которая допускается при замене f (x1) íà Sn(x1), равна

D = | f (x1) — Sn(x1)| = |Rn(x1)|.

Если ряд, получающийся при подстановке х1 в ряд Тейлора, знакочередующийся, то для определения D пользуются признаком

Лейбница, по которому D не превосходит модуль первого из отбро-

шенных членов.

Пример: Вычислить число е с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением еõ в ряд Маклорена (30.10).

!&