СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ТРЕТЬЕЙ ЧАСТИ
1а. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1966. Т. II. — 800 с.
1б. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970. Т.III. — 656 с.
2.Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика. — Киев: Выща школа, 1989. — 680 с.
3.Бугров Н.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения и кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1985. — 448 с.
4.Бугров Н.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1980. — 432 с.
5.Данилов Ю.М., Журбенко Л.И., Никонова Г.А. Высшая математика. Учебное пособие. — Казань, КГУ, 2000. — 380 с.
6.Щипачев В.С. Высшая математика. — М.: Высш.школа, 2003. — 479 с.
7.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1993. — 735 с.
8.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — М: Высш. школа, 1998. Т.2. — 584 с.
9.Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев Л.А. Специальный курс высшей математики. — М.: Высш. школа, 1976. — 390 с.
10.Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. — М.: Высш. школа, 1972. Т. II. — 640 с.
11.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1978. Т. II. — 576 с.
12.Баврин И.И. Высшая математика. — М: Высш. школа, 2001. — 616 с.
13.Гусак А.А. Высшая математика. — М.: Тетрасистемс, 2001. Т.2. — 449 с.
14.Вержбицкий В.М. Численные методы. — М.: ООО «Изд. дом ОНИКС 21 век», 2005. — 400 с.
Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
В четвертой части учебного пособия рассматриваются основные понятия теории вероятностей, случайные величины, основные понятия математической статистики. Излагаются основные сведения по логике высказываний и теории графов.
Глава 12
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ÈМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
34.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Опорный конспект ¹ 34
34.1.Понятие пространства элементарных событий W
èслучайного события (с.с.). Основные формулы комбинаторики
Î: W = w |
|
|
|
|
|
w |
Î: Ñ.ñ. À Û À Ì W W |
|
|
|
|
Æ |
|
|
|
= n |
n |
|
Am |
|
n |
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n - m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m Cnm = |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n - m m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm
34.2. Действия над с.с.
A È B = w w Î A Ú w Î B
AB = w w Î A Ù w Î B
|
|
|
|
A B = w w Î A Ù w Ï B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À = W A |
|
|
|
A |
W |
|
A B |
|
|
|
Û AB = Æ Þ A È B = A + B |
|
Î: S = Ai |
Ai Ì W i Î N |
|
Û å Ai = W |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
34.4. Сложение и умножение вероятностей |
|
Ò: AB = Æ Þ P A + B = P A + P B |
|
AB ¹ Æ Þ P A È B = P A + P B - P AB |
|
|
|
|
|
|
A + A = W Þ P A = - P A |
|
|
Î: P A B |
|
|
|
|
|
À |
 |
|
|
|
À Â |
Û P A B = P A |
P B A = P B |
|
|
|
|
|
|
Ò P AB = P A B P B À Â |
Þ P AB = |
Ð À Ð Â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
Ò: S = Hi |
åHi |
= W Þ P A = åP Hi P A/Hi |
"A Ì W |
|
|
|
|
|
i = |
|
i = |
|
34.3. Различные определения вероятности
34.3.1. Аксиоматическое и классическое определения
W = w |
w |
wn |
|
Î: |
|
|
Ð wi Û Ð wi Î R |
|
Ð w |
³ "i |
|
å P wi = |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wi ÎW |
|
Ð wi |
|
|
|
wi |
|
Î: |
|
|
P A = å P wi À Ì W |
|
|
|
|
wi ÎA |
|
Ð W = |
Ð Æ = |
Ð À |
|
|
|
|
|
|
|
|
W = w w |
wn |
wi i = n |
m |
wi Î À Þ Ð À = m n |
|
34.3.2. Геометрическое определение |
|
Î: Å Å |
|
|
|
|
Rn Å |
Ì Å À |
À Î Å Å Þ Ð À = m Å m E m E - |
Å |
34.3.3. Статистическое определение
Î: Ð À Ð À = m n |
|
|
m |
|
À |
|
|
n |
34.5. Схема испытаний Бернулли |
|
|
À n |
m |
|
|
|
|
P |
m = C mpmqn-m |
|
|
|
P A = p P A = - p = q |
n |
n |
|
|
|
34.1.Понятия пространства элементарных событий
èслучайного события.
Основные формулы комбинаторики
W
W = wi
W
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = W = wi |
i = |
wi |
i |
n = W = r p r |
|
|
|
ð |
n = W = r r r p |
p r |
p p |
|
W
W = |
n |
n n n |
Î |
|
|
À |
n n |
n + n |
£ |
Þ À = |
|
À
34.2. Действия над событиями
|
|
|
|
wi Î À |
wi |
|
|
|
|
À |
À Ì Â |
À |
|
|
 À Â Ì W |
|
|
|
|
|
|
|
|
À = Â |
À Ì Â |
Â Ì À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À È Â |
À |
 |
|
|
|
|
|
Î: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w w Î À |
|
|
w Î Â |
|
|
|
|
|
|
ÀÂ À Ç Â |
À |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
w Î À w Î Â |
|
|
À Â |
À |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
w w Î À |
|
w Ï Â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
À Ì W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À = W À |
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
W
w
W |
À È Â |
W |
ÀÂ |
W |
À\Â |
|
|
|
W |
<À |
|
|
|
|
|
|
À |
 |
À Â |
|
À Â |
|
|
|
|
À |
|
|
|
|
Ðèñ. 34.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
À È Â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
ÀÂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
À Í W |
Æ |
|
|
|
|
Î: |
|
À Â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
|
 |
ÀÂ = Æ |
|
ÀÈ Â = À + Â
À`À
Î: |
À À |
Àn |
Ài Ì W "i Î N |
|
|
S |
ÀiAj = Æ i ¹ |
åAi = W |
|
|
|
i |
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
W |
|
S = A |
A A |
Ài |
|
|
|
i- |
|
34.3.Различные определения вероятности
34.3.1.Аксиоматическое и классическое определения
W = w w wn
Î: |
|
|
Ð wi |
wi |
Ð w |
³ |
"i |
å P wi |
= |
|
i |
|
|
|
|
|
|
wi ÎW |
|
|
|
|
|
wi |
|
|
|
|
À Ì W |
Î: |
|
|
Ð À |
À Ì W |
|
|
|
P A = å P wi |
|
|
|
wi ÎA |
|
|
|
|
Ð À |
P W = P Æ = |
|
|
P A |
|
W = w |
w |
wn |
wi |
À Ì W |
|
m |
Ð wi |
|
|
Ð wi |
= n |
|
Ð À = m n
n
wi Ì À
À
Примеры:
£
W
À
34.3.2. Геометрическое определение вероятности
W
Å |
|
|
Rn |
|
|
|
|
Å |
|
|
|
|
|
|
m Å |
|
Î: |
|
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Å |
|
|
|
Å |
Ì Å |
|
P A = m E |
m E |
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
l |
t |
|
|
|
|
|
|
D £ x £ t |
£ y £ t |
õ |
|
Y |
|
|
|
ó |
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
y = x - l y = x + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
y |
x £ l |
|
S |
|
|
= t |
- |
t - l |
|
S |
= t |
|
|
X |
|
O |
l |
t |
|
|
|
|
|
|
P A = S S = t - t - l t = - t - l t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 34.2 |
|
34.3.3. Статистическое (частотное) определение вероятности
m
nÐ À
ÐÀ =
34.4.Сложение и умножение вероятностей
Ò: |
|
À Â |
|
|
Þ |
|
|
|
Ð À |
 РÀ Ð Â |
|
|
|
Ð À È Â = Ð À Ð Â Ð ÀÂ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
q |
|
|
|
Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
P A È B = å P wi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wi ÎAÈB |
|
P A + P B |
|
|
wi Î ÀÂ |
|
|
|
|
|
|
Ð ÀÂ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
À |
Ð À = |
- Ð À |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P A = P A + A = P A P A P W |
x |
Примеры:
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À = À |
+ |
À + À |
|
À |
|
|
|
|
À |
|
À |
|
Ð À = |
Ð À |
= |
Ð À |
= |
|
|
Ð À |
= Ð À |
+ |
Ð À + Ð À |
= |
+ |
+ |
= |
|
|
|
|
|
|
Ð = |
|
|
