9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

22.1. Линейные ДУ n-го порядка

О: ОДУ n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных:

ãäå ai(x), i = 0,n, b(x) непрерывны на некотором интервале (a, b).

Если b(x) º 0, то (22.1) называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным уравнением.

Общее решение ЛОДУ n-го порядка имеет вид

y = c1y1 + c2y2 + ... + cn yn,

ãäå ci, i = 1,n — произвольные постоянные, а y1(õ), y2(õ), ..., yn(х) образуют фундаментальную систему решений, т.е. определитель Вронского

Общее решение ЛНДУ (21.1) имеет ту же структуру, что и при n = 2.

Наиболее простым является случай уравнения вида y(n) = f (x), его общее решение можно найти последовательным n-кратным интегрированием:

= ò f (x)dx + c1,

= ò[ f (x)dx + c1]dx + c2 = ò dx ò f (x)dx + c1x + c2,

....................................................................

$

22.2.Нормальные системы ОДУ

èих интегрирование методом исключения

О: Совокупность дифференциальных уравнений, связывающая между собой несколько функций, называется системой ДУ.

Пример: Движение тел в пространстве под действием

ния движения, или система трех уравнений 2-го порядка.

О: Порядком системы ДУ называется наивысший из порядков уравнений, входящих в нее.

Далее ограничимся системами первого порядка относительно y1(x), y2(x),..., yn(x).

Î: yi¢ = fi(x, y1, ..., yn), i = 1,n, нормальная система ОДУ 1-го порядка, правые части уравнений этой системы не содержат производных искомых функций.

О: Решениåì системы ДУ называется совокупность функций yi(x), i = 1,n, удовлетворяющая каждому из уравнений этой системы.

Рассмотрим нормальную систему из трех уравнений:

ìx¢ = f1(t, x, y, z),

ï

íy¢ = f2(t, x, y, z),

ïîz¢ = f3(t, x, y, z).

$

Для нее теорема Коши о существовании и единственности решения формулируется следующим образом.

Т: Пусть функции fi(t, x, y, z), i = 1,2,3, непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в ней непре-

ни была точка (t0, x0, y0, z0) О D, существует единственное решение системы ДУ: x(t), y(t), z(t), удовлетворяющее на-

чальным условиям x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0 n

Для интегрирования системы можно применить метод, с помощью которого эта система из трех уравнений 1-го порядка сведется к одному уравнению 3-го порядка относительно одной функции. Такой метод называется методом исключения.

ì x¢ = -7x + y,

Пример: н

îy¢ = -2x - 5y.

Дифференцируя первое уравнение по t, получим x ¢¢ = - 7x ¢ + + y ¢, y ¢ подставим из второго уравнения: x ¢¢ = - 7x ¢ - 2x - 5y, а y — из первого: x ¢¢ = - 7x - 2x - 5(x ¢ + 7x) или x ¢¢ + 12x ¢ + 37x = 0. Решим его характеристическое уравнение: k2 + 12k + 37 = 0, k1,2 = - 6 ± i Þ x = e- 6t(c1cost + c2sint),

x ¢ = - 6e - 6t(c1cost + c2sint) + e-6t(-c1sint + c2cost) Þ

Þy = x¢ + 7x = e-6t[(c1 + c2)cost + (c2 - c1)sint]

22.3.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Большинство дифференциальных уравнений не могут быть решены точными методами. Разработано много различных численных методов, позволяющих получить результаты высокой точ- ности. Простейшим является метод ломаных Эйлера, основанный

на использовании приближенной формулы y¢ » Dy .

Dx

Пусть требуется решить уравнение

dy

dx = f (x, y), x Î [a, b], y(x0) = y0.

$!

Разделим [x0,b] на n равных частей точками x0, x1, x2, …, xn = b,

Найдем формулу для нахождения yi = j(xi) приближенного решения y = j(x) поставленной задачи Коши. Уравнение заменяем при-

dy

ближенным равенством dx = f (x, y) Þ Dy = f (x, y)Dx.

Отсюда у1 - ó0 = f(x0,y0)h Þ ó1 = ó0 + f(x0, y0)h. Полученное значение у1 позволяет далее вычислить у2:

ó2 - ó1 = f(x1, y1)h Þ ó2 = ó1 + f(x1, y1)h. Таким образом, получаем рекуррентную формулу:

ók = ók - 1 + f(xk - 1, yk - 1)h.

Соединяя последовательно на плоскости найденные приближенно точки (х0, ó0), (õ1, ó1),…, (õn, ón), получим приближенное изображение интегральной кривой в виде ломаной (ломаная Эйлера).

Пример: у ¢ = х - у, у(0) = 2.

Данное уравнение может быть решено точно:

ó = õ - 1 + ñå-õ — общее решение, у = 3е-õ + х - 1 - решение задачи Коши. Решим его приближенно методом Эйлера при x О [0, 1], h = 0,2 и занесем данные в таблицу, где также приведены для сравнения точные значения yi:

Ошибка метода Эйлера имеет порядок 10-2

Поскольку метод Эйлера обладает малой точностью и дает удовлетворительные результаты лишь для малых интервалов, раз-

$"

работан ряд приемов уточнения метода Эйлера. Одним из таких методов, используемых при вычислениях на компьютере, является метод Рунге–Кутта. В нем последовательные приближенные вы- числения yi проводятся по формуле

Существуют хорошо разработанные вычислительные схемы метода Рунге–Кутта не только для уравнений 1-го порядка, но и для уравнений 2, 3, 4-го порядков.

22.4.Дифференциальная модель химических реакций

Дифференциальной моделью называют дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями (задачу Коши), полу-

$#

ченное в результате исследования некоторого реального процесса. Ясно, что дифференциальные модели являются частным слу- чаем математических моделей. Они относятся к динамическим моделям, причем в процессе их построения важное значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи.

Âобщем случае уравнение химической реакции записывается

ââèäå

a1À1 + a2À2 + … + anÀn ® b1B1 + b2B2 + … + bmBm,

ãäå Ài , i = 1,n , — молекулы взаимодействующих веществ; Вi , i = 1,m, — молекулы получившихся в результате реакций веществ, ai, bi — коэффициенты реакции, указывающие на число молекул, принимающих участие в реакции. Порядок химической реакции равен общему числу молекул, входящих в левую часть уравнения. Например, химическая реакция второго порядка может иметь вид

a1À1 + a2À2 ® À3.

Åñëè xi(t) — концентрация вещества Аi в момент t и реакция идет только в одну сторону, т.е. обратной реакции нет, то x1(t) è x2(t) в результате реакции убывают, а x3(t) — растет. Скорость этого роста назовем скоростью реакции и обозначим через V +. Известно, что скорость химической реакции пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент в реакции в соответствующих степенях ai, ò.å.

V +=k+ x1a1 x2a2 ,

ãäå k+ — коэффициент пропорциональности, зависящий от температуры.

Зная, сколько молекул А3 образуется в единицу времени и сколько молекул А1 è À2 расходуется на образование молекул А3, получаем уравнения для скоростей хi:

$$

Таким образом, вектор концентраций X(t) = (x1(t), x2(t),x3(t)) определится из решения данной системы ОДУ.

Данная модель может далее усложняться. Так, может синтезироваться не одна, а b молекул А3, причем вместе с прямой протекает и обратная реакция со скоростью V -. Тогда схема выглядит

следующим образом: a1À1 + a2À2 « bÀ3.

Скорость реакции в данном случае определяется как V = V + - V -, причем V - = k- x3b.

Получаем систему дифференциальных уравнений

Дальнейшее усложнение модели происходит, если идет одновременно несколько пар прямых и обратных реакций.

Конкретную задачу рассмотрим для модели с одним ОДУ. Задача. Два жидких химических вещества А и В объемом 10 и

20 литров соответственно в процессе химической реакции образуют новое жидкое вещество С. Считая, что температура в процессе реакции не меняется и что из каждых двух объемов вещества А и одного объема вещества В образуются три объема вещества С, определить количество вещества С в произвольный момент времени t, если за 20 мин его образуется 6 литров.

Решение. Пусть x(t) — объем в литрах вещества С, образовавшегося к моменту времени t ( в часах). Тогда к этому моменту в

ж 1 ц причем x(0) = 0, x з ч = 6.

è 3 ø

$%

Глава 8

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Опорный конспект ¹ 23

W Û ¶W z = f x y z = F x y = Þ

$'

23.2. Свойства ДИ

10. òò[ f (x, y) + j(x, y)] ds = òò f (x, y) ds + òòj(x, y) ds;

D D D

5 . j(x, y) £ y(x, y) â D Þ òòj(x, y) ds £ òòy(x, y) ds;

D D

60. Теорема о среднем: f ( x,y) непр. в D Ю $M(x, h) О D:

òò f (x, y) ds = f (x,h)S.

D

23.3. Вычисление ДИ

¶D: y = j1(x), y = j2(x) (j1(x) < j2(x)), x = a, x = b (a<b) Þ

bj x

òò f x, y ds = òdx ò f x, y dy,

D a j x

¶D: x = y1(y), x = y2(y) (y1(y) < y2(y)), y = c, y = d (c < d) Þ

d y x

%