9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Добавил:

Lordor Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

заданы как фун-

) Î Rn, координаты которых х ,

õ , ..., õ

заданы как фун-

кции некоторого параметра t О R: L = {M О Rn: x

= x (t), ..., xn = xn(t)}.

= x (t), ..., xn = xn(t)}.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.07.2021

Размер:

8.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Пример:

z = - x - y

z =

O Y

Ðèñ.. 24..66

òòò z

x = y =

zc =

-r

V = òò s ò

z =

ò jò

- r r r = p

-r

òòòz

v = òò s

ò z z =

òò(

- r )

s =

jò

- r r r =

= -

ò ( - r )

j =

p zc =

Î:

ÎÕ

Jx =

+ z

Jy = x + z m Jz = x + y m.

OX OY

Jx = y + z m = y + z r x y z v

Jy = x + z r v

Jz = x + y r v

Jx = òòò

+ z

r x

y z

Jy = òòò x

+ z r

= òòò x

+ y

Пример:

r = x = y = z = x + y + z =

-x

-x-y

Jz = òòò

+ y

v =

ò x ò

y ò

x + y

z =

- x

= ò x ò x + y

- x - y y =

Литература:

6.7.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ

Бугров Я.С., Никольский С.М Бугров Я.С., Никольский С.Н.

Пискунов Н.С Пискунов Н.С.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Щипачев В.С.

Фихтенгольц Г.М. Фихтенгольц Г.М. Фихтенгольц Г.М. Кудрявцев Л.Д.

Вержбицкий В.М Шерстнев А.Н. Гусак А.А Натансон И.П.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В Баврин И.И.

Ершова В.В.

Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А

! !

Часть 3. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

В третьей части учебного пособия рассмотрены криволинейные и поверхностные интегралы I и II родов, элементы теории поля, числовые и функциональные ряды. Приведены сведения из теории рядов Фурье и уравнений математической физики.

Глава 9

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

25. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ДЛИНЕ ДУГИ (I рода)

Опорный конспект ¹ 25

25.1. Понятие КИ Iр

Î: f (x,y) íåïð. â D,

ÈÈ

AB Ì D,		AB	разбивается
	i - 1	i		i
íà À ÈА длиной Dl ,

i = 1,n, Mi (xi ,hi )Î Dli Þ
ò f (x, y)dl =				n
			lim	å f (xi ,hi )Dli .
È			maxDli ®0 i=1
AB				È

r(x, y) — линейная плотность AB

m = ò f (x, y)dl — масса AB

DlE

Î	A	D
	A	D
			X
			X

! "

25.2. Свойства КИ Iр

1 .	ò	( f (x, y) + f	(x, y))dl =		ò	f dl +	ò	f dl;
0
		1	2			1		2
	È				È		È
	AB				AB		AB
2 .	ò cf (x, y)dl = c ò			f (x, y)dl, c = const;
0

ÈÈ

	AB		ò	AB	ò		ò
3 . L = L + L Þ			ò	f (x, y)dl =	ò	fdl +	ò	fdl;
0
	1	2
			L		L		L
					1		2
0	òdl = l	— длина L;
4 .	òdl = l	— длина L;
	L
5 .	ò f (x, y)dl = ò f (x, y)dl
0

ÈÈ

AB BA

25.3. Вычисление КИ Iр

à) AB : x = x(t), y = y(t) — íåïð. äèôô. íà [a,b] Þ

Þ ò f (x, y)dl = ò f (x(t), y(t)) x¢2 + y¢2 dt;

	È	a
	AB	a
	AB
	È

á) AB : y = y(x) — íåïð. äèôô. íà [a,b] Þ

Þ ò f (x, y)dl = ò f (x, y(x)) 1 + (y¢(x))2 dx

È	a
AB

25.1. Кривые в Rn. Задача о массе кривой. Понятие криволинейного интеграла I рода

О: Кривой L в Rn будем называть множество точек M (х , х , ...,

Каждой т. M М L соответствует радиус-вектор r (M) = {x (tM),

x (tM), ..., xn(tM)}.

! #

Пример: Траектория АВ движения материальной точки в

трехмерном пространстве в зависимости от времени t задает-

ся параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), tA £ t £ tB.

В качестве параметра t обычно выбирается переменная, строго

возрастающая при движении по кривой, тогда началу кривой со-

ответствует наименьшее, концу — наибольшее значение парамет-

ра t. Такие кривые называют ориентированными.

О: Кривая L: xi = xi(t), i = 1,n, t О [a, b], называется непрерыв-

íîé, åñëè xi(t),i = n непрерывны на [a,b]; гладкой, если

1, ,

xi(t) непрерывно дифференцируемы на [a,b] и å[xi¢(t)]2 ¹ 0.

i=1

Кривая L называется кусочно-гладкой, если состоит из ко-

нечного числа гладких кривых. Кривая L называется замк-

нутой, если конец совпадает с началом (xi(a) = xi(b), i = n .

1, )

Длина кривой AB определена в п. 12.3.2.

Рассмотрим в плоскости XOY кривую AB длиной l и предпо-

ложим, что вдоль этой кривой распределена масса с линейной

плотностью r(M) = f (x, y). Требуется определить массу кривой AB .

Разобьем AB на n частей точками A = A, A , A ,..., A = B (рис. 25.1).

						0	1	2	n	n
					массу дуги А ÈA длиной Dl , тогда m =					n
Обозначим через Dm					массу дуги А ÈA длиной Dl , тогда m =					å	Dm .
				i		i-1 i		È	i	å	i
								È		i=1
Подсчитаем приблизительно массу дуги Аi-1Ai.
						Пусть Mi(xi,hi) — произвольная точка
Y						È
						äóãè Ài-1Ai. Считая, что плотность в каж-
							È
						дой точке дуги А		A такая же, как в т. M ,
							i-1	i			i
	Dli		Â = An			получаем: Dmi	» r(Mi) Dli = r(xi,hi) Dli .
	Dli	An -1				получаем: Dmi	» r(Mi) Dli = r(xi,hi) Dli .
	A	An -1				Суммируя, найдем
		i
	Ai -1
						n		n
	A = A0			X		m » år(Mi )Dli =år( xi ,hi )Dli .
Î						i=1		i=1
Ðèñ. 25.1

За точное значение массы кривой AB примем предел этой сум-

мы при условии, что max Dli	® 0. Èòàê,
		n
m = lim		år(Mi )Dli .	(25.1)
max Dli ®0		i=1
		i=1

К подобного рода суммам и их пределам приводят и другие за-

дачи. Отвлекаясь от конкретного содержания приведенной зада-

чи, рассмотрим непрерывную функцию f (x,y), определенную в

точках дуги AB . Составленная для нее сумма

	n
	å f (xi ,hi )Dli					(25.2)
	i=1
называется интегральной.
					f (x,y)dl от функции f (x,y) по
	О: Криволинейным интегралом ò				f (x,y)dl от функции f (x,y) по
				È
	È			AB
	È
	длине AB называется предел интегральной суммы (25.2),
	если он существует, конечен и не зависит от способа раз-
	È	È
	È	È			= 1,n, и от выбора в них то-
		i - 1	i
	биения AB на части A		A , i
	÷åê Mi, ò.å.
	ò f (x,y)dl =			n
	ò f (x,y)dl =	lim		å f (xi ,hi )Dli .
	È	max Dli		i=1		(25.3)
	AB
	AB

Сравнивая (25.1) и (25.3), делаем вывод, что m = ò r(x,y)dl.
			È
			AB
Аналогично	определяется	криволинейный	интеграл
			È

f (x , x , ..., xn )dl от функции n переменных по длине AB М Rn.

25.2. Свойства криволинейного интеграла I рода

Свойства криволинейного интеграла I рода (КИ Iр) приведе-

ны в ОК ¹ 25 и доказываются аналогично свойствам определен-

ного интеграла с использованием (25.3). Специфическим по срав-

нению с определенным интегралом является свойство 5 неизмен-

ности КИ Iр при перемене ориентации кривой ( Dli ³ 0 â (25.3)

независимо от ориентации).

! %

25.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл ò f (x,y)dl легко сводится к опреде-

ленному интегралу. Примем за параметр длину дуги l, отсчиты-

ваемую от точки А по кривой AB , получим параметрическое пред-

ставление кривой AB : x = x (l) , y = y(l) , 0 £ l £ l * , ãäå l * —

длина дуги AB . Пусть в (25.3) промежуточным точкам Mi (xi,hi)
соответствует l = l*i ,	ò.å. xi = x (li ) , hi = y (li ) . Тогда
n	n
å f (xi ,hi )Dli =å f [x(li ),y(li )]Dli .
i=1	i=1

Последняя сумма является интегральной для определения ин-

теграла ò f [x(l), y(l)]dl, ò.å.

ò f (x, y)dl = ò f [x(l),y(l)]dl.

È	(25.4)
È
AB	0

Эта формула доказывает существование криволинейного интег-

рала I рода от функции f (x,y), непрерывной в D, если AB М D —

непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Рассмотрим формулы для вычислений криволинейного интег-

рала в следующих случаях:

а) AB : x = x(t), y = y(t), a £ t £ b, где x(t) и y(t) непрерывно

дифференцируемы на [a,b], тогда (см. разд. 18.3)

dl = x¢(t) 2 + y¢ t 2 dt,

т.е. из (25.4) имеем

ò f (x,y)dl = ò f [x(t), y(t)] x¢(t) 2 + y¢(t) 2 dt.

Èa

! &

Формула может быть обобщена на пространственный случай,

т.е. если AB : x = x(t), y = y(t), z = z(t), a £ t £ b, f(x,y,z) непрерыв-

íà â D, AB М D, тогда

ò f (x,y,z)dl = ò f [x(t),y(t),z(t)] x¢(t) 2 + y¢(t) 2 + z¢(t) 2 dt.

Èa

Аналогично записывается формула для большего числа пере-

менных.

Пример:

ò(x2 + y2 )dl = ? L:	x = a cost, y = a sin t, 0 £ t £ 2p.
L	2p
2p	2p

ò(x2 + y2 )dl = ò (a2 cos2 t + a2sin2t) a2sin2t + a2cos2t		dt = a3 ò dt = 2pa3
L	0	0
	È
á)	AB : y = y(x), a £ x £ b, где y(x) непрерывно диффе-
ренцируема на [a,b], тогда
dl =	1 + y¢ x 2 dx (cì. ðàçä. 18.3)

è ò f (x, y)dx = ò f [x,y(x)] 1+ y¢(x) 2 dx.

Èa

Пример: Найти массу кривой y = lnx, 1 £ x £ 2, если линей-

ная плотность r(x,y) = x2.

m = ò	x2dl = ò x	1 + x2 dx = 0,5ò 1 + x2 12 d 1 + x2 =
È
AB	1		1
		2
= 0,5× 2	3	= 1	5 5 - 2 2
= 0,5× 2	(1 + x2 ) 2	= 1	5 5 - 2 2
3		3
3		1

Литература: [3. С. 205–210]; [6. С. 324–345]; [10. С. 493–495].

26. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ (II РОДА)

Опорный конспект ¹ 26

26.1. Определение КИ IIр. Задача о работе r

a = {P(x,y), Q(x,y)}

P(x,y), Q(x,y) — Y

íåïð. â D, AB Ì D

	È			Dyi
AB разбивается				Ai
íà Ai -1Ai, i = 1,n,				Ai-1
A ®A = {Dx , Dy },				A = A
i -1	i	i	i	A = A
M(x ,h ) Î A			ÈA ,	0
i	i		i -1 i	Dxi
r	r	= ò P dx +Q dy =
ò a × dr		= ò P dx +Q dy =

ÈÈ

Â = An

= lim	åP(xi ,hi )Dxi		+Q(xi ,hi )Dyi
max Dxi ,Dyi	®0 i
	r	× drr		r
W = ò P dx + Q dy = ò F		× drr		— работа силы F	= {P(õ,y), Q(x,y)}

ÈÈ

	AB		AB
	È	r	= {dx,dy}
íà AB,		dr	= {dx,dy}
26.2. Свойства КИ IIр
1 .	ò P dx +Q dy = - ò P dx +Q dy ;
0
	È		È
	AB		BA

	È	È	È
2 .	AB =	AC + CB Þ ò P dx + Q dy = ò P dx +Q dy + ò P dx + Q dy;
0
				È		È	È
				AB		AC	CB
3 . D = D + D , ¶D = L , ¶D = L , ¶D = L Þ
0
	1	2	1	1	2	2
Ñò P dx +Q dy = Ñò + Ñò
L		L	L

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
04.07.20218.45 Mб569060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8.pdf
#
06.07.20218.61 Mб35Doc1.docx
#
06.07.20214.55 Mб18Doc2.docx
#
05.07.20213.31 Mб69Билет мат 1.docx
#
05.07.202121.11 Mб21Лекция.docx