9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

30.7.2. Вычисление интегралов с помощью рядов

x

Пусть нужно вычислить ò(x)dx, причем f (x) разлагается в ряд

0

Тейлора (30.6). Тогда можно интегрировать почленно внутри интер-

вала сходимости. Определенный интеграл можно вычислить с заданной степенью точности.

0,5

Пример: Вычислить интеграл ò sinxx dx c точностью 0,001.

0

30.7.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Пусть необходимо найти решение y(x) задачи Коши для диффе-

Ищем y(x) в виде ряда Тейлора:

y(x) = y(x0) + y¢(x0) (x - x0) +

1!

!&

Значения y(x0) = y0, y ¢(x0) = y0¢ известны, поэтому определяется сразу у¢¢(х0) = f ¢(x0,y0,y0¢). Для нахождения следующих коэффициентов ряда (30.14) необходимо брать последовательно производные от у¢¢ = f(x,y,y ¢) и подставлять в них известные уже значения предыду-

щих производных.

Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши y ¢¢ = xy ¢ - y + ex, y(0) = 1, y ¢(0) = 0.

ближенного решения уравнений любого порядка

Литература: [6. С. 394–402]; [10. С. 130–172]; [11. С. 275–320].

31. РЯДЫ ФУРЬЕ

Опорный конспект ¹ 31

31.1.Тригонометрический ряд

a ¥

f (x) = 0 + åan cos nx + bn sin nx, (31.1)

2n =1

!&

f(x) имеет период 2p.

a ¥

Ò: 0 + å an + bn сходится Ю (31.1)

2n =1

правильно сходится "х О R

31.2. Коэффициенты Фурье.

Ряд Фурье для функции с периодом 2p

Ðÿä (31.1), ãäå

pp

-p

31.3. Достаточные условия разложения f(x) с периодом 2p в р.Ф.

О: f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на [a, b], если:

1)f (x) Î C[a,b], кроме конечного числа точек разрыва I рода;

2)f (x) кусочно-монотонна на [a,b].

Ò.(Дирихле): f (x) с периодом 2p удовлетворяет условиям Дирихле "[a,b] О R Ю р. Ф. для f (x) сходится "х О R, f (x) = S(x)

âточках непрерывности,

S(x) = (f (x - 0) + f (x + 0))/2 в точках разрыва х = x

31.4. Р.Ф. для четных и нечетных функций

!&!

-l

31.1. Тригонометрический ряд

О: Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд

+ ancos nx + bnsin nx +...,

ãäå a0, a1, b1, a2, b2,...an, bn, ... — действительные числа, называ-

емые коэффициентами ряда, n О N.

Так как члены тригонометрического ряда имеют общий период

T = 2p, то сумма ряда

если он сходится, является периодической функцией с периодом 2p. Это обстоятельство позволяет применять тригонометрические ряды при изучении периодических процессов в электротехнике, радиотех-

íèêå è ò.ä.

¥

О: Функциональный ряд åun (x) называется правильно сходя-

n=1

щимся на промежутке Х, если существует такой знакоположи-

¥

тельный сходящийся ряд åan, ÷òî |un| £ an, n = 1, 2, ... . Ðÿä

n=1

¥

åan называется мажорирующим рядом по отношению к

n=1

функциональному ряду.

!&"

Правильно сходящийся на промежутке Х ряд является на нем

абсолютно сходящимся и его можно почленно интегрировать на Х

[11. Ñ. 281].

ряд является правильно сходящимся n

q Теорема верна в силу справедливости неравенств |ancos nx| £ |an|, |bnsin nx| £ |bn|, n = 1, 2, ..., "x Î (-p, +p) x

31.2. Коэффициенты Фурье.

Ряд Фурье для функции с периодом 2p

Пусть периодическая функция f(x) с периодом 2p представляется правильно сходящимся тригонометрическим рядом (31.1), т.е. является его суммой. Выразим коэффициенты ряда ak, bk через функцию f(x).

Предварительно отметим свойства системы тригонометрических функций

10 - 40 называются свойствами ортогональности системы (31.2) на отрезке [- p, p].

Интегралы вычисляются с использованием формул преобразова-

ния произведения тригонометрических функций в сумму. Например, при k ¹ n

!

Для коэффициентов ak, bk справедливы формулы Фурье:

-p

Для вывода (31.3) проинтегрируем сначала тригонометрический ряд на [-p, p]:

Используя свойство 40 системы (31.2), имеем:

Для нахождения коэффициента аk умножим обе части (31.1) на cos kx

и полученный правильно сходящийся ряд проинтегрируем на [-p, p]:

 ñèëó 10, 30, 40 имеем

Аналогично для нахождения коэффициента bk необходимо умножить обе части (31.1) на sin kx и проинтегрировать полученный правильно сходящийся ряд на [-p, p], используя свойства 20- 40.

!&$

О: Тригонометрический ряд (31.1), коэффициенты которого

определяются формулами Фурье (31.3), называется рядом Фурье (р. Ф.), соответствующим функции f (x).

31.3. Достаточные условия разложения периодической функции B(N) с периодом 2p в ряд Фурье

О: Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на [a, b], если она:

1)непрерывна на [a, b] или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2)кусочно-монотонна на [a, b], т.е. отрезок [a, b] можно разделить на конечное число отрезков, внутри которых функция f(x)

либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2p удовлетворяет на

любом отрезке из R условиям Дирихле. Тогда для нее можно найти по

формулам (31.3) коэффициенты a0, ak, bk и построить ряд Фурье (31.1).

Будет ли этот ряд расходиться на (-p, +p) и будет ли его сумма

равна f (x)? Достаточные для этого условия дает теорема Дирихле (до-

казательство см. в [1б. С. 438]).

Т (Дирихле): Если периодическая функция f(x) с периодом 2p

удовлетворяет на любом отрезке из R условиям Дирихле, то р.Ф.

для функции f(x) сходится "x О R. При этом в каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) = f(x), а в каждой точке х = x разрыва f(x) сумма S(x) = (f(x - 0) + f(x + 0))/2 n

Пример: Периодическая функция с периодом 2p определена как f(x) = x, -p £ x £ p. Разложить ее в ряд Фурье.

Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле

(рис. 31.1). Находим коэффициенты Фурье:

!&%

Ðèñ. 31.1

Таким образом, "х О R, за исключением точек разрыва

В точках разрыва х = ± (2n - 1)p сумма ряда S(x) = (-(2n - 1)p +(2n - 1)p)/2 = 0

31.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Л.1: Если f (x) — четная функция на [-a, a], то

aa

òf (x)dx = 2ò f (x)dx, если f(x) — нечетная функция на

[ -a, a], òî ò f (x)dx = 0 u

-a

q Для четных функций

= -ò f (-z)dz + ò f (x)dx = ò f (z)dz + ò f (x)dx = 2ò f (x)dx.

!&&

Для нечетной функции доказательство аналогично x

Л.2: Произведение двух четных или двух нечетных функций есть

четная функция, четной и нечетной — нечетная функция u

q j(x), y(x) - четные функции Ы

Û j(-x) = j(x), y(-x) = y(x) Þ j(- x)y(-x) = j(x)y(x).

Остальное доказывается аналогично x

С помощью лемм 1, 2 получаем следующие коэффициенты

Фурье:

— для четной функции:

Таким образом, ряд Фурье

a ¥

для четной функции f (x) = k + åancosnx,

2n=1

¥

для нечетной функции f (x) = åbnsin nx.

n=1

Пример: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2p, если на [-p, p] она имеет вид f(x) = |x|.

Данная функция является четной (рис. 31.2). Поэтому

00

!&'

31.5. Ряд Фурье для функций с периодом 2l./ Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке из R и f (x ± 2l) = f (x). Разложение ее в тригонометрический ряд

проводится путем сведения этого случая к случаю периодической функ-

ции с периодом 2p с помощью замены z = px/l. Функция j(z) = f (lz/p) име-

ет период 2p, так как j(z + 2p) = f (l(z + 2p)/p)) = f (lz/p + 2l) = f(lz/p) = j(z).

a ¥

Тогда j(z) = 0 + åancosnz + bnsin nz, ãäå

2n=1