Добавил:

Lordor Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.07.2021

Размер:

8.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

лярная ось l совмещена с осью ОХ, а полюс — с началом коорди-

íàò, ò.å.

ìx = r cos j,
í			(23.10)
î y = r sin j.
В этом случае u = r, v = j, J =	cos j	-r sin j		= r > 0 è
В этом случае u = r, v = j, J =	cos j	-r sin j		= r > 0 è
	sin j	r cos j

ds = r dr dj — элемент площади в полярных координатах. Тогда

òò f (x, y) ds = òò f (r cos j, r sin j)r dr dj.

(23.11)

Пусть область D имеет границу ¶D: r = r1(j), r = r2(j)

(r1(j) < r2(j)), j = a, j = b (a < b) (рис. 23.8). Тогда по аналогии с прямоугольными координатами заменяем двойной интеграл по-

вторным:

	b	r (j)
òò f (r cos j, r sin j) r dr dj = òdj ò f * (r, j) r dr,
D	a	r (j)
		(23.12)
	f *(r, j) = f (r cos j,	r sin j).
Пример: òò	4 - x2 - y2 ds = ? ¶D : x2 + y2 = 4.
D

С помощью формулы (23.10) записываем уравнение границы ¶D в полярных координатах: r = 2. Используя (23.12), по-

лучаем

òò 4 - x2 - y2 ds =

= òò 4 - r cos j 2 - r sin j 2 r dr dj =

= òò 4 - r r dr dj = ò djò 4 - r r dr =

D
2p	4 - r 2 3 / 2	1	2	2p	8		16p
2p				2p
= - ò				dj = ò		dj =
= - ò				dj = ò		dj =
	3				3	3
0			0	0
			0

r = r2(j)

r = r1(j)

Ðèñ. 23.8

23.5.Приложения двойных интегралов

23.5.1.Геометрические приложения

SD = òò s

Пример ¶D

y =

- x

y = x =

x =

- x

+ x - =

x = -

M - -

-x

S = ò x ò y = ò

- x - x x = ç x

¶D

Ðèñ. 23.11

Ðèñ. 23.9

Ðèñ. 23.10

VW = òò f	x y	s
D
Пример: ¶W		x =	y = x + y + z =			z =		V =
					- x
	V= òò		- x - y x y = ò x ò			- x - y y =
		D
= ò				x			- x
	- x y		y	x = ò	x	x = -	- x
								=
								=

Замечание.
	z = f x y	z = f x y
		XOY
D	V

VW = òò f x y - f x y		s.
D
Z	z = f	x y
Z

z = f x y

O		Y
O



	D
X
	Ðèñ. 23.11

Ë:			G
¶G			s D —	G
			S
			S = s	j
	j
			u
			q	S = s j
		¶G
j

		G
		G

ÐèñÐèñ. 23. 23.12.13

z = f	x y
				G

n	DDi i = n			DGi
	DGi
	Z
			G
			G
	O				Y


		D
X

Ðèñ. 23.14

Ðèñ. 23.13

DDi

G Ìi

Ìi

DGi

Dsi

s» åDsi

i =

			n
	s =		åDsi
		l®	i =
Dsi	=	Dsi	gi

		gi
		gi

	G
	D Ì XOY
		D
		G
		n
DDi		s = åDsi Dsi
		i =
	gi
	H
	ni	DGi
	Mi	DGi
		DGi

i DDi

	Ðèñ. 23.15
	Ðèñ. 23.14

Ni xi hi

zi = f Ni = f xi hi

DDi DGi

Dsi

	H
DGi DDi	gi = ni OZ

H
ni = í- fx¢ xi				hi - fy¢ xi hi ý
gi	=		=
		H
		H
		ni		+ ( f ¢x xi hi ) + ( f ¢y xi hi )
				+ ( f ¢x xi hi ) + ( f ¢y xi hi )

s =

l®

å + ( f ¢x xi hi ) + ( f ¢y xi hi ) Dsi

i =

s = òò

+ f ¢x x y + f ¢y x y x y.

Пример:

z = x

+ y

z =

zx¢

zy¢ =

+ y

x + y

s = òò

x y = òò

x y.

+ y

ÕÎY

¶D x + y

s = òò

r r j =

jòr r =

Ðèñ. 23.15

23.5.2. Физические приложения

Î:

mõ

ÎÕ

Ì õ ó Î ÕÎY

mõ

= my

mó = mõ

ÎÕ

ÎY

mõ = ó

= x m

mx = òò y r x y s my = òò x r x y s.

M(x,y)

õñ

óñ

Ðèñ. 23.16

= mõ

= mó

Ðèñ. 23.17

= my

òò x r x

x r x y s = D

òòD

òòr x y

òò y r x

= mx = D

òòr

m= òòr x y

r x y = r =

òòx

òò y

Пример:

£ x £

£ y £

r õ ó = õ + ó

m = òò x + y x y = ò xò x + y y = ò x xy

= ò

x +

x = x

+ y

y ö

xc =

òò x + y x x y =

ò xò x + xy y =

ò x ç x y + x

ò x + x x =

+ x ÷

yc =

òò x + y y x y =

ò yò xy + y

x =

Î:

	s
ÎÕ ÎY	Jx = y m
Jy = x m
	D
D

Jx = òò y2r(x, y) ds, J y = òò x2r(x, y) ds.

D D

		Пример: Найти момент инерции однородной пластинки с
r	0	= 1, ограниченной параболой y = 4 - x2				и осью ОХ, относи-
тельно оси OY.
			2	4-x2	2	æ	4x3		x5	ö	2		128

J x = òò x2r ds = ò dx ò x2 dy = ò x2 (4 - x2 ) dx = ç								-		÷		=
							3		5				15
		D	-2	0	-2	è				ø	-2

Литература: [2. С. 136–189]; [4. С. 160–195]; [5. С. 474–500]; [6. С. 307–323].

24.ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Опорный конспект ¹ 24

24.1. Понятие ТИ

W разбивается на DWi, i = 1,n, с объемами DVi,

DWi Ç DWj = Æ, i ¹ j,

	n
Mi(xi,hi, zi) Î DWi Þ òòò f (x, y, z) dv = lim å f (xi ,hi ,Vi )Dvi ,
W	l®0 i =1

Z	DWi
	DWi
·	Mi
W
O	Y
	Y

l - max diam DWi

Ò: f (x,y,z) íåïð. â W Þ ÒÈ $ n

r(x,y,z) — плотность в т. М(x,y,z) О W Ю

Þ m = òòòr dv — масса W .

24.2. Свойства ТИ

10. òòò f (x, y, z) + j(x, y, z) dv =òòò f dv +òòòj dv;

	W		W	W
20.	òòòcf dv = còòò f dv,		c = const;
	W	W
30.	9 = 91 + 92 Þ òòò f dv =òòò f dv + òòò f dv;
40.	òòòdv =V	9	91	92
40.	òòòdv =V	— объем 9;

5 . j(x, y, z) £ y(x, y, z) â W Þ òòòj dv £ òòòy dv;

60. Теорема о среднем: W W f(x,y,z) íåïð. â 9 Þ $M(x,h,z) Î 9:

òòò f (x, y, z) dv = f (x,h,V)V n

24.3. Вычисление ТИ

В прямоугольных координатах: 9 правильная, проектируется в D,

ì y = j (x), y = j (x),			Þ òòò f (x, y, z) dx dy dz =
¶D: ï	(j (x) £ j (x)),		Þ òòò f (x, y, z) dx dy dz =
í	1	2
í	1	2	W
îï x = a, x = b (a<b),			W
îï x = a, x = b (a<b),
	z2 (x, y)		b	j2 ( x)	z2 (x, y)
= òòdx dy ò		f (x, y, z) dz = òdx ò dy ò f (x, y, z) dz
D	z1 (x, y)		a	j1 ( x)	z1 ( x, y)

z = z1(x, y)

В цилиндрических координатах:

ìx = r cos j,		ì	r = r1 (j),
		ï	r = r2 (j),
ï		ï
í y = r sin j,		¶D : í	(r1 < r2 )
ï	z = z,	ï
î		ï
		îj = a, j = b
	KKKKKH	KKKKK·H

r = |OM ¢|, j = (OM ¢, OX ).

z = z2(x, y)

		M
			z
O				Y
O	r			Y
	r
	j
	j

XM¢

òòò f

x y z

v = òòr

r j ò f

r j z

z =

ò jòr r ò f

r j z z zi

r j = zi

= zi r

j r

j i =

r j z

f r j r j z

KKKKH

ìx = r

r =

KKKH·

í y = r

j q

í j = ON OX

KKKKH

z = r

ï q = OM OZ

òòò f

x y

z v =òòò f

q j r

q r j q

24.4. Приложения ТИ

24.4.1. Объем тела

(ñì. 24.2)

24.4.2. Физические приложения

mxy

= òòòz r x

y z

myz

= òòòrx v

mxz

= òòòry

myz

mxz

mxy

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
04.07.20218.45 Mб569060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8.pdf
#
06.07.20218.61 Mб35Doc1.docx
#
06.07.20214.55 Mб18Doc2.docx
#
05.07.20213.31 Mб69Билет мат 1.docx
#
05.07.202121.11 Mб21Лекция.docx