9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

В частности, при m º 1 формула (27.3) дает площадь поверх-

ности G:

sG = òòds.

G

27.2.2. Вычисление ПИ Iр

Вычисление ПИ Iр сводится к вычислению двойного интегра-

ла. Пусть гладкая поверхность G задана уравнением z = z(x,y), (x,y)

Î D, D = ïðÕÎYG. Воспользуемся определением ПИ Iр, причем в

интегральной сумме (27.2) выразим Dsi через DSi — площадь

DDi = ïðÕÎYDGi (ðèñ. 27.5).

По формуле площади поверхности и теореме о среднем для

двойного интеграла (см. разд. 23)

!!

Переходя к пределу при l ® 0, имеем

òò f (x,y,z)ds =

G

Если область G проектируется на другие координатные плос-

кости, то получаются формулы, аналогичные (27.4). Из формулы

(27.4) и теоремы существования двойного интеграла получаем

условия существования ПИ Iр: непрерывность f(x,y,z) в W, G М W,

непрерывность вместе с частными производными функции z = z(x,y), задающей поверхность G в D = прÕÎYG.

Пример: Вычислить массу m части G параболоида с урав-

нением z = 1 - x2 - y2, отсеченной пло-

= òò(1 + 4x2 + 4y2 )dx dy.

D

Òàê êàê D: x2 + y2 £ 1, то переходя к полярным координатам,

!!

27.3.Поверхностный интеграл II рода

27.3.1.Поток жидкости через поверхность. Определение ПИ IIр

Решим задачу о потоке жидкости. Пусть через двустороннюю

поверхность G М R3 стационарно (независимо от времени ) дви-

жется жидкость с плотностью m = 1 со скоростью

Найти поток жидкости через поверхность G, т.е. количество

жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу вре-

ìåíè.

Разобьем G на n частей DGi с площадями Dsi, выберем

M(xi,hi,zi) Î DGi (ðèñ. 27.7)rи будем считать, что в пределах DGi ñêî-

рость постоянна и равна v(xi ,hi ,Vi ).

вектор нормали в т. Mi, то приближенно поток ПG через G равен

ние потока принимаем

!!!

Введем понятие интеграла, соответствующего формуле (27.5).

ZDDiyz

DDixz

DGi

O Y

DDixy

X

Ðèñ. 27.8

О: Поверхностным интегралом II рода от функций P(x,y,z),

Q(x,y,z), R(x,y,z) по двусторонней ориентированной обла-

сти G называется предел интегральной суммы (27.6) при

l ® 0, если он существует, конечен и не зависит от спосо-

ба разбиения G на части DGi и от выбора т. Mi Î DGi.

!!"

Так как при выполнении условий существования поверхност-

ного интеграла можно считать

DSixy = Dxi Dyi , DSiyz = Dyi Dzi , DSixz = Dxi Dzi ,

то ПИ IIр обозначается

òòP(x, y,z)dy dz +Q(x, y,z)dx dz + R(x, y,z)dy dx.

G

В силу справедливости равенств dx dy = dsxy = ds cos g(M),

dy dz = dsyz = ds cos a(M), dx dz = dsxz = ds cos b(M), получаем форму-

лу, связывающую ПИ I и II рода:

òòP(x, y,z)dy dz +Q(x, y,z)dx dz + R(x, y,z)dy dx =

G

r r

= òò(P cosa +Q cosb + R cos g)ds = òòa × n ds.

(27.7)

G G

Из формул (27.5), (27.7) следует, что поток жидкости через по-

верхность G записывается поверхностным интегралом

r r

ÏG = òòP dy dz +Q dx dz + R dy dx =òòv × n ds.

G G

Из (27.7) следует, что ПИ IIр имеет такие же свойства, как и

ПИ Iр, но в отличие от последнего меняет знак на противополож-

ный при переориентации поверхности G.

27.3.2. Вычисление ПИ IIр

Вычисление ПИ IIр сводится к вычислению двойных интегралов. Если Dxy = ïðXOYG, Dxz = ïðXOZG, Dyz = ïðYOZG, а двусторон-

няя поверхность такова, что ее уравнение можно записать как z = z(x,y) Ъ y = y(x,z) Ъ x = x(y,z),

òî

òòP(x, y,z)dy dz +Q(x, y,z)dx dz + R(x, y,z)dx dy =

G

= ± òò P(x(y,z), y,z)dy dz ± òòQ(x, y(x,z),z)dx dz ±

!!#

где знак ( + ) берется, если a(M) для первого интеграла, b(M) для

второго интеграла, G(M) для третьего интеграла — острые углы,

знак (-), если углы тупые.

qДействительно, по определению ПИ IIр

Аналогично для функций P(x,y,z), Q(x,y,z) x

Пример: Вычислить òòz dx dy + x dy dz, если G — внешняя

G

сторона нижней части сферы x2 + y2 + z2 = 1 (ðèñ. 27.9, à).

Воспользуемся формулой (27.8):

¶Dxy: x2 + y2 = 1, z = - 1 - x2 - y2 (ðèñ. 27.9, á) Þ

Þ òòz dx dy = - òò - 1 - x2 - y2 dx dy =

GDxy

!!$

ò.å. òòz dx dy + x dy dz = 4p

Вычисление ПИ IIр можно провести также по формулам (27.7),

(27.4).

27.4. Формула Остроградского—Гаусса

Формула Остроградского–Гаусса устанавливает связь между по-

верхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверх-

ности G и тройным интегралом по пространственной области W,

¶W = G, и обобщает формулу Грина на пространственный случай.

Т: Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вме-

сте со своими частными производными первого порядка в

ограниченной замкнутой области W, ¶W = G — гладкая ори-

ентированная поверхность. Тогда справедлива формула

причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G n

Формула (27.9) и носит название формулы Остроградского–

Гаусса.

qПредположим, что W — простая область, т.е. G = ¶W пере-

секается с любой прямой, параллельной осям координат, не бо-

лее чем в двух точках (рис. 27.10). Если W не является простой, то

ее необходимо разбить на конечное число простых областей. Пусть

!!%

Z

Складывая почленно, имеем (27.9) x

27.5. Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и

криволинейным интегралами, а также обобщает формулу Грина

на пространственный случай.

Т: Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вме-

сте со своими частными производными на гладкой ориен-

тированной поверхности G, ограниченной гладкой замкну-

той кривой L. Тогда

!!&

28. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЯ

Опорный конспект ¹ 28

28.1. Скалярное поле (CП)

28.1.1. Определение СП. Линии и поверхности уровня u(M), M(x,y) О D Н R2 èëè M(x,y,z) Î W Í R3

u(x,y) = c, c = const — линии уровня,

u(x,y,z) = c — поверхности уровня

28.1.2. Производная по направлению СП r

l = {cos a, cos b, cos g} кк прямой L, т. M, M О L Ю

1

G

!"