9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

¶u =Q(x,y).

Аналогично доказывается равенство ¶y

3 Ю 4: Из условия 3 следует, что по теореме о равенстве част-

ных производных высших порядков, отличающихся порядком

¶P = ¶2u = ¶2u = ¶Q

дифференцирования, ¶y ¶x¶y ¶y¶x ¶x .

4 Ю 1: Пусть гладкая замкнутая кривая L* М D ограничивает

область D* М D (в силу односвязности D). Тогда по формуле Гри-

íà

26.7. Интегрирование полных дифференциалов

Пусть выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным диффе-

ренциалом некоторой функции u(x,y). Из доказательства условий

независимости криволинейного интеграла ò P dx +Q dy îò âûáî-

x ,y

00

Чтобы найти функцию u(x,y), можно выбрать в качестве пути

интегрирования наиболее простой, например, АСВ, где АС и СВ —

отрезки, параллельные осям координат (рис. 26.7). Тогда

u(x,y) = ò P dx +Q dy + ò P dx +Q dy + c.

xy

00

!

Примеры: 1) Проверить, является ли выражение 2xy dx +

+ (x2 + 2y)dy полным дифференциалом du. Если является, то

найти u(x,y).

ò.å. 2xy dx + (x2 + 2y)dy = du. По (26.5) имеем

(x;y) x y

u = ò 2xy dx + (x2 + 2y)dy = ò0dx +ò(x2 + 2y)dy + c = x2 y + y2 + c

(0;0) 0 0

(2;2)

ò (yex + 1)dx + exdy.

2) Вычислить

(0;1)

Выражение под знаком интеграла является полным диффе-

рем путь интегрирования от А(0; 1) до В(2; 2) в виде ломаной

АСВ (рис. 26.8). Тогда АС: y = 1, dy = 0, 0 £ x £ 2, CB: x = 2, dx = 0, 1 £ y £ 2.

22

!

26.8.Уравнения в полных дифференциалах

О: Уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 называется уравнением в

полных дифференциалах, если его левая часть является пол-

ным дифференциалом некоторой функции u(x,y), т.е. P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du.

Из определения следует, что общий интеграл такого дифферен-

циального уравнения записывается в виде u(x,y) = c.

Используем формулу (26.6) для нахождения функции u(x,y).

Таким образом, для уравнения в полных дифференциалах реше-

ние может быть получено в виде

В качестве т. (х ,у ) возьмем (0;1). Тогда по (26.7)

00

Литература: [3. С. 210–229]; [6. С. 332–345]; [10. С. 473–

492]; [11. Ñ. 217–228].

! !

27. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Опорный конспект ¹ 27

27.1. Поверхности в R3

G: z = z(x,y), M(x,y) Î R2 , z(x,y), z¢x, z¢y — непрерывны

в D Ы G — гладкая поверхность, являющаяся двусторонней. r

n = {cos a,cos b,cos g},

l = max diam DGi, m(M) — поверхностная плотность G Ю

Þ m = òòm(x, y,z)ds — масса G

G

27.2.2. Вычисление ПИ Iр

G: z = z(x,y),(x,y) Î D — гладкая поверхность Ю

Þ òò f (x, y,z)ds =òò f (x, y,z(x, y)) 1 + zx¢ 2 + zy¢ 2 ds

GD

! "

27.3. ÏÈ IIð

27.3.1. Определение ПИ IIр

Z

DDiyz

O Y

27.3.2. Вычисление ПИ IIр

Dxy = ïðXOYG, Dxz = ïðXOZG, Dyz = ïðYOZG,

G: z = z(x,y) Ú y = y(x,z) Ú x = x(y,z) Þ

! #

27.1. Поверхности в R3

Пусть поверхность G задана уравнением F(x,y,z) = 0. В п. 12.3.3

было показано, что если в окрестности т.M (x ,y ,z ) ОG частные

производные Fx¢, Fy¢, Fz¢ непрерывны и одновременно не равны

нулю, то в т. M существует касательная плоскость к поверхности.

0

Такая т. M называется обыкновенной точкой поверхности G. Если,

0

например, Fz¢ ¹ 0, то на основании теоремы о неявной функции [5.

С. 357] в окрестности т. M уравнение поверхности F(x,y,z) = 0 мож-

0

но записать в явном виде z = f(x,y). Такой кусок поверхности G яв-

ляется гладким куском. Точки, в которых Fx¢ = Fy¢ = Fz¢ = 0 — îñî-

бые точки поверхности, в них касательная плоскость может не су-

ществовать. Например, поверхность x2 + y2 + z2 = R2 (сфера) не имеет

особых точек. Ее можно задать и параметрическими уравнениями x = R cosj sinq, y = R sinj sinq, z = cosq

то поверхность является гладкой. Отметим, что в случае замкну-

той поверхности (например, сферической) при параметрическом

задании неизбежно наличие точек, получающихся при несколь-

ких значениях параметров (u,v) — кратных точек поверхности.

! %

О: Гладкая поверхностьrG называется двусторонней, если на-

правление нормали n(M ) " т. M О G при обходе по любо-

му замкнутому контуру L: M О L М G, при возвращении в

т. M совпадаетr с исходным. Если после обхода L направле-

ние n(M ) противоположно исходному, то поверхность G

называется односторонней.

Например, сфера — двусторонняя поверхность. Примером од-

носторонней поверхности является так называемый лист Mебиуса

(рис. 27.3, а), который получается склейкой сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что т. А совмещается с т. D, а т. В — с т. С

(ðèñ. 27.3, á).

Будем рассматривать только двусторонние поверхности, при-

чем выбирать определенную их сторону, т.е. задавать ориентацию

поверхностиr (см. рис. 27.2). В каждой точке такой поверхности

n(M ) зависит от т. M непрерывно.

! &

Ïóñòü гладкая поверхность G задана уравнением z z(x,y), (x,y) D. Она является двусторонней. Действительно, век-

1

cos (M )

zx zy 1

являются непрерывными функциями в области D и определяют ориентацию nH(M ).

27.2.Поверхностный интеграл I рода

27.2.1.Задача о массе поверхности G. Определение ПИ Iр

Пусть на поверхности G распределена масса с поверхностной

! '

За точное значение массы естественно принять

Введем понятие интеграла, соответствующего формуле (27.1).

Пусть функция f (x,y,z) непрерывна в пространственной области

W, которой принадлежит гладкая поверхность G. Проведем для G

описанные выше построения и составим

О: Поверхностным интегралом I рода (ПИ Iр) òò f (x,y,z)ds îò

G

функции f (x,y,z) по поверхности G называется предел ин-

тегральной суммы (27.2), когда l = max diam DGi ® 0, åñëè îí

существует, конечен и не зависит как от способа разделения

G íà DGi, так и от выбора промежуточных т. Mi Î DGi , ò.å.

G

ции n переменных f (x ,x ,...,xn) по гладкой поверхности G М W М Rn.

12

ПИ Iр обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл,

так как его определение аналогично определению двойного ин-

теграла. Из формулы (27.1) и определения ПИ Iр следует, что

масса m поверхности G

!!