9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

— внутренняя нормаль. Это значит, что в поле без источ-

ников через каждое сечение векторной трубки протекает одно и

то же количество жидкости.

ные частные производные, было потенциальным, необхо- r

димо и достаточно выполнения равенства rot v(M ) = 0 n

q Необходимость:

!#

Из теоремы и формулы Стокса следует, что в потенциальном

ВП циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю. При

гидродинамической интерпретации это означает, что в потоке нет

замкнутых струй жидкости, т.е. нет «водоворотов».

Из теоремы далее следует, что криволинейный интеграл в по-

È

тенциальном поле не зависит от пути интегрирования AB, ò.å.

работа в силовом потенциальном поле

W = ò vxdx + vydy + vz dz = u(B) - u(A).

È

AB

!#

r

Из условия потенциальности следует, чтоv(M ) = grad u(M ). Тогда

условие соленоидальности приводит к соотношению div grad u(M) = 0

èëè

Применяя дифференциальный оператор Лапласа

Du = 0. Уравнение Du = 0 называется уравнением Лапласа, а функ-

ции, ему удовлетворяющие, — гармоническими функциями.

Литература: [3. С. 247–267]; [6. С. 367–379]; [9. С. 5–62].

Глава 10

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

29. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Опорный конспект ¹ 29

29.1 Понятие ч.р. и его суммы

¥

Î: åun = u1 + u2 + ... + un + ..., Sn = u1 + u2 + ... + un — n-ÿ ÷àñ-

n=1

тичная сумма

!#"

29.4. Достаточные признаки сходимости знакоположитель-

íûõ ÷.ð.

29.4.1. Признаки сравнения

29.4.3. Интегральный признак

¥

åun , un > 0, f (x)> 0 : f (n) = u(n),

n=1

непрерывна на [1,¥),

!##

29.5. Знакочередующиеся ч.р. Признак Лейбница

29.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости

n=1

Мы уже встречались с примерами, когда интересующая нас функция не является элементарной (разд. 16.3). В подобных случаях целесообразно заменить ее такой функцией, которая, являясь доста-

точно простой и удобной для вычислений, «хорошо» в некотором смысле заменяет или аппроксимирует ее на заданном множестве Х. Например, на отрезке [0, 2] значения функции f(x) = ex è

!#$

÷èò, ÷òî ex может быть на указанном отрезке аппроксимирована фун-

кцией Р(х) с погрешностью, не превышающей 5%.

Для конструирования аппроксимирующих функций Р(х) используют так называемые системы функций, удобные для вычислений,

например

Теория рядов, к изучению которой мы приступаем, позволяет

указывать способы нахождения аппроксимирующих функций.

29.1. Понятие числового ряда и его суммы

О: Числовым рядом (ч. р.) называется выражение, полученное

последовательным сложением членов числовой последователь-

ности u1, u2, ..., un, ..., ò.å. u1 + u2 + ... + un + ..., n-й частичной суммой ряда называется Sn = u1 + u2 + ... + un. Ряд называется

сходящимся, если существует конечный предел lim Sn, ÿâëÿ-

n®¥

ющийся суммой ряда; расходящимся, если lim Sn = ¥Ú$.

Числа u1, u2, ..., un, ..., — члены ряда, un — n-й или общий член.

¥

2. a + aq + aq2 + ... + aqn-1 = åaqn-1 — геометрическая прогрес-

n=1

сия, где q — знаменатель прогрессии.

Выясним сходимость геометрической прогрессии. Из курса эле-

!#%

Приq=1рядпринимаетвидa+a+..+a+...,Sn =na, lim Sn = lim na = ¥,

n®¥ n®¥

при q = - 1 геометрическая прогрессия имеет вид a - a + a - a +...+ a - - a + ..., т.е. Sn = 0 при n четном и Sn = a при n нечетном. Таким образом, по определению, геометрическая прогрессия сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ³ 1.

29.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов

10. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость

÷.ð.

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует

n=1

!#&

qПусть Sn = u1 + u2 + ... + un, sn = v1 + v2 + ... + vn, Sn* = (u1 + v1) +

+(u2 + v2) + ... +(un + vn), тогда

29.3. Необходимый признак сходимости числового ряда

Необходимый признак не является достаточным. Например, для

!#'

Тогда:

q Åñëè Sn = u1 + u2 + ... + un, sn = v1 + v2 + ... + vn, то из (29.2) следует, что

Докажем сначала справедливость 1). По определению сходяще-

ãîñÿ ðÿäà lim sn = s (конечное число), тогда, учитывая (29.3), име-

n®¥

åì Sn £ sn < s. Последовательность частичных сумм {Sn} неубывающая

метрической прогрессией с q = 1/5 < 1, т.е. сходящимся рядом. Так

ными членами lim un = A ¹ 0, ¥ , то оба ряда или сходятся, или рас-

n®¥ vn

ходятся.

!$