9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8
.pdf21.3.5. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения y
y* = c1y1 + c2y2 Þ y = c1(õ)y1 + c2(õ)y2, ãäå c1(õ), c2(х) определяются из системы c1¢y1 + c2¢y2 = 0, c1¢y1¢ + c2¢y2¢ = b(x)
21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка
ОДУ 2-го порядка в общем виде записывают так:
F(x, y, y ¢, y ¢¢) = 0. |
(21.1) |
Если уравнение (21.1) можно разрешить относительно y ¢¢, то оно имеет вид
y ¢¢ = f (x, y, y ¢). |
(21.2) |
О: Задача нахождения решения уравнения (21.2), удовлетворяющего начальным условиям y(x0) = y0, y ¢(x0) = y0¢, называется задачей Коши.
Ò.(существования и единственности решения ОДУ 2-го порядка): Если функция f (x, y, y ¢) и ее частные производные
fy¢(x, y, y ¢), fy¢1(x, y, y ¢) непрерывны в окрестности т. М0(õ0, y0, y0¢) в пространстве переменных (x, y, y ¢), то в окрестности т. х0 ñó-
ществует единственное решение задачи Коши: у ¢¢ = f (x, y, y ¢),
y|x=x = y0, |
y |x=x |
= y0 n |
|
¢ |
¢ |
0 |
|
0 |
Теорему приводим без доказательства.
О: Общим решением дифференциального уравнения (21.2) называется функция y = j(x, c1, c2), зависящая от двух произвольных постоянных c1, c2 при следующих условиях:
1) она является решением (21.2) при любых значениях
2) при любых начальных условиях y|x=x |
= y0, |
¢ |
¢ |
y |x=x |
= y0 |
||
0 |
|
|
0 |
существуют единственные значения c1 = |
c10, c2 = c20, ÷òî |
y = j(x, c10, c20) удовлетворяет данным начальным условиям, т. (х0, y0, y0¢) О D — области $! решения.
#
Условия y|x =x0 = y0, y¢|x =x0 = y0¢ , которые используются для нахождения постоянных c10, c20 в общем решении ОДУ 2-го порядка, можно задать и по-другому.
Пусть, например, решение уравнения ищется на отрезке
õ Î [a, b]. |
|
Тогда |
для определения c10 è c20 можно задать |
y|x=a = ya, |
y|x=b = yb, т.е. задачу для ОДУ 2-го порядка можно |
сформулировать следующим образом: на отрезке [a, b] найти решение ОДУ 2-го порядка, удовлетворяющее условиям, заданным на концах отрезка:
F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, y (a) = ya, y (b) = yb.
Такая задача называется краевой задачей для ОДУ 2-го порядка. Более подробно об этом можно узнать, например, из [12. C. 311].
21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка
О: ДУ 2-го порядка, допускающими понижение порядка, называются уравнения, решение которых можно путем замены переменных свести к решению уравнений 1-го порядка.
К ним относятся: а) y ¢¢ = f (x, y ¢), б) y ¢¢ = f (у, y ¢). (Уравнения вида y ¢¢ = f (x) являются частным случаем уравне-
ния y ¢¢ = f (x, y ¢).) Они в явном виде не содержат переменной у в случае а) и х в случае б), поэтому в случае а) делают замену у ¢ = р,
р = р(х), у ¢¢ = р, а в случае б) у ¢ = р, р = р(у), y¢¢ = dp × dy = p¢p (ñì.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
dx |
ÎÊ ¹ 21). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примеры: 1) (1 + х2)ó ¢¢ - 2õó ¢ = 0. |
|
|
|||||||||
|
Замена y ¢ = p, p = p(x), y ¢¢ = p¢ Ю |
(1 + õ2)p¢ - 2xp = 0 — óðàâ- |
|||||||||
нение с разделяющимися переменными Ю |
|
||||||||||
|
dp |
2x dx |
|
1 + x2 |
|
|
Þ p = c (1 + x2 ); |
|
|||
|
|
= |
|
Þ ln|p| = ln |
+ ln |
c |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
p |
1 + x2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y ¢ = c (1 + x2) |
Þ dy = c (1 + x2)dx |
Þ y = c (x + x3/3) + c |
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
2) 1 + y ¢2 = 2yy ¢¢.
#
Замена y ¢ = p, p = p(y), y ¢¢ = p¢p, 1 + p2 = 2ypp¢ — уравнение с разделяющимися переменными Ю
|
2p dp |
|
dy |
2| = ln|y| + ln|c | Þ |
|
Þ |
|
= |
|
Þ ln|1 + p |
|
|
|
||||
1 + p2 |
|
y |
1 |
||
|
|
Þ 1 + p |
2 = c y, p = ± |
c y - 1 |
Þ y¢ = ± |
c y - 1 |
Þ |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Þ |
|
dy |
|
|
|
= dx Þ x + c |
= ± |
|
2 |
c y - 1 Þ |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
± |
c y - 1 |
|
|
|
|
2 |
|
c1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + c |
|
)2 |
4c y |
- 1 |
|
c2 |
(x + c |
) + 4 |
||||
Þ (x |
|
= |
1 |
|
Þ y = |
1 |
|
2 |
||||||
2 |
c2 |
|
|
|
4c |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
21.3.1. Линейные однородные ДУ 2-го порядка. Структура общего решения
О: ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у ¢, у ¢¢, т.е.
a0(x)y ¢¢ + a1(x)y ¢ + a2(x)y = b(x). |
(21.3) |
Дифференциальное уравнение
a0(x)y ¢¢ + a1(x)y ¢ + a2(x)y = 0, |
(21.4) |
получающееся из (21.3) при b(x) = 0, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(x) ¹ 0, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).
Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций
a0(õ), a1(õ), a2(x), b(x) в окрестности т. х0 ïðè ó(õ0) = ó0, ó ¢(õ0) = ó0¢ уравнение (21.3) имеет в окрестности т. х0 единственное решение.
Ò.(о линейной комбинации решений): Если функции у1(õ) è ó2(х) — решения уравнения (21.4), х О (a, b), то их линейная комбинация y = c1y1 + c2y2 также является его решением n
#!
q Подставим функцию y = c1y1 + c2y2 и ее первую и вторую производные в левую часть уравнения (21.4):
a0(x)(ñ1y1¢¢ + ñ2y2¢¢) + a1(x)(ñ1y1¢ + ñ2y2¢) + a2(x)(ñ1y1 + ñ2y2) = = ñ1(a0(x)y1¢¢ + a1(x)y1¢ + a2(x)y1) +
+ ñ2(a0(x)y2¢¢ + a1(x)y2¢ + a2(x)y2) = 0.
Выражения в круглых скобках равны нулю, так как y1(õ), y2(х) — решения уравнения (21.4) x
О: Решения y1(x), y2(x), х О (a, b), образуют фундаментальную систему решений, если определитель Вронского
W (x) = |
y1 |
(x) |
y2 |
(x) |
¹ 0 |
на интервале (a, b). |
|
y1 |
(x) |
y2 |
(x) |
|
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
Ò.(о структуре общего решения): Пусть a0(õ), a1(õ), a2(x) непрерывны на (a, b). Если решения y1(x), y2(x) уравнения (21.4) образуют фундаментальную систему решений,
õ Î (a, b), òî y = c1y1(õ) + c2y2(х) является общим решением уравнения (21.4) на (a, b) n
q Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений y = c1y1(õ) + + c2y2(х) является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные
условия у(х0) = ó0, ó ¢(õ0) = ó0¢, õ0 О (a, b). Подставляя их в y = c1y1(õ) + + c2y2(х) для определения c1 è c2, получаем систему
|
ìy0 = c1y1(x0 ) + c2y2(x0), |
|
||||||
|
í |
|
|
+ c2y2(x0). |
(21.5) |
|||
|
îy0 = c1y1(x0) |
|
||||||
|
|
|
¢ |
¢ |
¢ |
|
||
Ее определитель |
|
y1(x0) |
y2(x0) |
|
=W (x0) |
является определите- |
||
|
|
|||||||
|
|
y1(x0) |
y2(x0) |
|
|
|
||
|
|
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
лем Вронского, вычисленным в т. х0. Он не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение с1 = ñ10, ñ2 = = ñ20, которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения x
21.3.2. ЛОДУ 2п с постоянными коэффициентами
Рассмотрим ЛОДУ (21.4), в котором a0, a1, a2 постоянны, a0 ¹ 0. Поделив (21.4) на a0, получим уравнение
y ¢¢ + py ¢ + qy = 0, p,q = const. |
(21.6) |
#"
Найдем для этого уравнения фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение в виде y = ekx. Тогда y ¢ = kekx, y ¢¢ = k2ekx. Подставляя у, y ¢, y ¢¢ в (21.6), имеем k2ekx + ðkekx + qekx = 0, ekx ¹ 0 Þ
k2 + pk + q = 0. |
(21.7) |
Таким образом, для того чтобы у было решением (21.6), необходимо, чтобы k удовлетворяло уравнению (21.7).
О: Алгебраическое уравнение (21.7) называется характеристи- ческим уравнением дифференциального уравнения (21.6).
В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения возможны следующие случаи.
1. D = p2 - 4q > 0, уравнение (21.7) имеет два различных дей-
|
|
p |
p2 |
|
||
ствительных корня |
k1,2 = - |
|
± |
|
- q. |
В этом случае уравнение |
|
4 |
|||||
|
2 |
|
|
|
(21.6) имеет два частных решения y1 = ek1x, y2 = ek2x, которые образуют фундаментальную систему, так как
W (x) = |
ek1x |
ek2x |
= e(k1 +k2 )x (k |
|
- k ) ¹ 0. |
|
|
|
|
2 |
|||
|
k ek1x |
k |
ek2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Следовательно, общее решение имеет вид y = c1ek1x + c2ek2x.
2. D = 0, уравнение (21.7) имеет один действительный корень k = - p/2, кратности 2. Тогда уравнение (21.6) имеет одно частное решение y1 = ekx. Покажем, что y2 = xekx тоже является решением (21.6). Действительно, y2¢ = ekx(1 + kx), y2¢¢ = ekx(2k + k2x), y2¢¢ +
+py2¢ + qy2 = ekx(2k + k2x) + pekx(1 + kx) + qekx = ekx[x(k2 + pk + q) +
+(2k + p)]. Òàê êàê k2 + pk + q = 0 (k - корень характеристического
уравнения), 2k + p = 0 (k = - |
p/ ), òî y ¢¢ + py ¢ + qy |
2 |
= 0. Решения |
||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
y |
= ekx, y = xekx образуют фундаментальную систему в силу |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
W (x) = |
ekx |
|
xekx |
= e2kx ¹ 0, |
|
|
|
kekx |
ekx (1+ kx) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
поэтому y = c1ekx + c2xekx èëè y = cekx(c1 + c2x) — общее решение уравнения (21.6).
##
3. D = p2 - 4q < 0, характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня k1,2 = a ± ib, ãäå a = -ð/2,
b = q - |
p2 |
. Частные решения имеют вид y = e(a + ib)x = eaxeibx = |
|
||
|
4 |
1 |
|
|
= eax(cos bx + isin bx), y2 = e(a - ib)x = eaxe-ibx = eax(cosbx - isin bx). Заменим эти комплексные решения на действительные: y1 = (y1 + y2)/
2 = = eaxcos bx, y2 = (y1 - y2)/2i = eaxsin bx. Они образуют фундаментальную систему решений, так как можно показать, что
W(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y1 |
y |
¹ 0. Таким образом, общее решение y = c eaxcos bx + |
|||||||
|
|
|
y¢ |
|
y¢ |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
+ c2eaxsin bx èëè y = eax(c1cos bx + c2sin bx). В ОК ¹ 21 все три слу- чая сведены в таблицу.
Примеры: 1) y ¢¢ + 5y ¢ + 6y = 0 Ю k2 + 5k + 6 = 0, k1 = - 2,
k2 = - 3 Þ y = c1e- 2x + c2e-3x.
2) y ¢¢ - 2y ¢ + y = 0 Þ k2 - 2k + 1 = 0, k = 1 Þ y = ex(c + c x). |
||||
|
1,2 |
|
1 |
2 |
3) y ¢¢ + 4y ¢ + 13y = 0 Þ k2 + 4k + 13 = 0, k |
1,2 |
= -2 ± 3i Þ |
|
|
Þ y = e- 2x(c |
|
|
|
|
cos 3x + c sin 3x). |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
21.3.3. Структура общего решения ЛНДУ 2п
Рассмотрим уравнение (21.3) при b(x) ¹ 0.
Ò.(о структуре общего решения): Общим решением уравне-
ния (21.3) с непрерывными аi(x), i = 0,1,2, b(x) на (a, b), является y = y * + y, где y* - общее решение соответствующего однородного уравнения (21.4), y — любое частное ре-
шение уравнения (21.3) n
q Проверим выполнение первого условия определения общего решения. Подставим у в левую часть (21.3):
|
|
|
|
|
|
|
a0(y * |
+ y ) + a1 |
(y * + y ) + a2(y * + y) = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
¢¢ |
|
|
¢¢ |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= (a0 y *¢¢ + a1y *¢ + a2y*) + (a0 |
|
¢¢ + a1 |
|
¢ + a2 |
|
). |
|
|||||||||||||
|
|
|
y |
y |
y |
|
|||||||||||||||||||
Ïî |
|
|
условиям |
теоремы |
|
|
|
a0 y * |
+ a1y * + a2y* = 0 |
è |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
¢ |
|
|
|
|||||||
a0 |
|
¢¢ + |
a1 |
|
¢ + a2 |
|
= b(x), |
ò.å. y = y * + |
|
|
является решением уравне- |
||||||||||||||
y |
y |
y |
y |
ния (21.3). Проверим выполнение второго условия определения общего решения. Возьмем начальные условия y(x0) = y0, y ¢(x0) = y0¢,
#$
x0 О (a, b). Для определения с1, ñ2, учитывая запись y* = с1y1 + ñ2y2, ãäå y1, y2 — фундаментальная система решений (21.4), получаем
систему
D= y1(x0) y1¢(x0)
ì y0 = c1y1(x0) + c2y2(x0) + |
y |
(x0), |
|
|||||
í ¢ |
¢ |
¢ |
|
|
|
¢ |
Ее определитель |
|
îy0 |
= c1y1 |
(x0) + c2y2 |
(x0) + y (x0). |
|
y2(x0) =W (x0) является определителем Вронского, y2¢ (x0)
который не равен нулю в силу фундаментальности системы у1(õ), ó2(х). Таким образом, система имеет единственное решение с1 = ñ10, ñ2 = ñ20 и второе условие определения общего решения выполнено x
21.3.4. Метод подбора частного решения ЛНДУ 2п
Из теоремы о структуре общего решения уравнения (21.3) следует, что для его нахождения необходимо знать общее решение у* соответствующего однородного уравнения и частное решение y неоднородного. Пусть ДУ имеет вид
y ¢¢ + py ¢ + qy = f(x), p,q = const. |
(21.8) |
Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами найти можно (см. п. 21.3.2). Для нахождения частного решения неоднородного уравнения в случаях специального вида правой части уравнения (21.8) — многочлен f(x) = Pn(x) = = a0xn + a1xn - 1 + ... + an, произведение многочлена на показательную функцию f(x) = Pn(x)emx, m = const, гармоника f(x) = M cos mx + + N sin mx либо линейная комбинация перечисленных функций — частное решение может быть выбрано в виде, указанном в таблице ОК ¹ 21 (п. 21.3), либо в виде линейной комбинации соответствующих решений из таблицы. Коэффициенты А0, À1,..., Àn в таблице не известны и находятся путем подстановки в уравнение (21.8) (метод неопределенных коэффициентов).
Примеры: 1) y ¢¢ + y ¢ = 5х + 3. Ищем решение в виде y = y* + y. а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + y ¢ = 0, его характеристическое уравнение k2 + k = 0, ò.å. k1 = 0, k2 = - 1 Þ y* = c1 + c2e-x; á) y — частное решение уравнения y ¢¢ + y ¢ = 5х + 3 — ищем в виде y = (Ах + В)х, так как правая часть уравнения — много-
член первой степени и k1 = 0. Подставим y в уравнение: y¢ = 2Àõ + Â, y¢¢ = 2À Þ 2À + 2Àõ + Â = 5õ + 3 Þ 2À = 5,
#%
2À + Â = 3 Þ À = 5/2, Â = - 2.
Таким образом, у = с1 + ñ2å-õ + 5õ2/2 — 2õ 2) y ¢¢ - 2y ¢ - 3ó = (õ + 2)å3õ.
Ищем общее решение в виде у = у* + у.
а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ - 2y ¢ - 3у = 0, его характеристическое уравнение k2 - 2k - 3 = 0, ò.å. k1 = - 1, k2 = 3
Þ y* = c1å-õ + c2e3õ; á) y = õ(Àõ + Â)å3õ,
y¢ = (2Àõ + Â)å3õ + 3(Àõ2 + Âõ)å3õ = å3õ(3Àõ2 + 2Àõ + 3Âõ + Â), y¢¢ = 3å3õ(3Àõ2 + 2Àõ + 3Âõ + Â) + å3õ(6Àõ + 2À + 3Â) = å3õ(9Àõ2 + + 12Àõ + 9Âõ + 6Â) Þ (8Àõ + 2À + 4Â)å3õ = (õ + 2)å3õ Þ 8À = 1, 2À + 4Â = 2 Þ À = 1/8, Â = 7/16.
ó= ñ1å-õ + ñ2å3õ + (õ2/8 + 7õ/16)å3õ
3)y ¢¢ + 4y ¢ + 5ó = 2cos x — sin x.
Ищем решение в виде y = y* + y.
а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + 4y ¢ + 5y = 0, его характеристическое уравнение k2 + 4k + 5 = 0, ò.å. k1,2 = - 2±i Þ
Þ y* = e-2x(c1cos x + c2sin x);
á) y = À cos x+ Â sin õ, y¢ = -À sin x + Â cos x, y¢¢= -À cos x- B sin x Þ
Þ (4À + 4B)cos õ + (4Â - 4A)sin x = 2cos x - sin x, 4À + 4B = 2,
4B - 4A = -1 Þ À = 3/8, Â = 1/8 Þ ó = å-2õ(ñ1cos x + ñ2sin x) + + 3/8cos x + 1/8sin x
21.3.5. Решение ЛНДУ 2п методом вариации произвольных постоянных
Пусть найдено общее решение y* = c1y1 + c2y2 ЛОДУ, соответствующего уравнению (21.8), в котором p, q могут быть и функциями от х. Функции у1(õ), ó2(х) образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение y уравнения (21.8)
â âèäå y = c1(õ)y1 + c2(õ)y2, ãäå c1(õ), c2(х) — пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Име-
åì |
y |
¢ |
= c1y1¢ + c2y2¢ + c1¢y1 + c2¢y2. Положим c1¢y1 + c2¢y2 = 0, тогда |
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
|
= c1y1¢ + c2y2¢, y |
= ñ1ó1¢¢ + ñ2ó2¢¢ + ñ1¢ó1¢ + ñ2¢ó2¢. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Подставим y, |
y , y |
|
в уравнение (21.8), сгруппируем слагаемые |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
¢¢ |
|
ñ ñ1(õ) è ñ2(õ): ñ1(õ)(ó1¢¢ + pó1¢ + qó1) + ñ2(x)(ó2¢¢ + pó2¢ + qó2) + ñ1¢(x)ó1¢+ + ñ2¢(x)ó2¢ = f (x).
Выражения в круглых скобках равны нулю, так как у1(õ), ó2(х) — решения однородного уравнения. Поэтому для определе-
#&
|
|
ìc¢ |
(x)y |
(x) + c¢ |
(x)y |
(x) = 0, |
||
ния с ¢(x), с ¢(x) получаем систему |
í |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
(x)y1 |
(x) + c2 |
(x)y2(x) = |
f (x). |
||||
1 |
2 |
îc1 |
||||||
|
¢ |
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
Система имеет единственное решение, так как ее определитель
D = |
y1 |
(x) |
y2 |
(x) |
=W (x) ¹ 0. |
Интегрируя полученные с ¢(x) и с ¢(x), |
||||
|
y1 |
(x) |
y2 |
(x) |
|
|
1 |
2 |
||
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
||||
найдем с1(x) è ñ2(x), т.е. частное решение |
|
. |
|
|||||||
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
Пример: y¢¢ + 4y = |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cos2x
Ищем общее решение в виде y = y* + y.
а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + 4y = 0, характеристическое уравнение k2 + 4 = 0, k1,2 = ±2i Þ y* = c1cos 2x + c2sin 2x.
á) y = c1(x) cos 2x + c2 (x) sin 2x Þ
ìc¢(x) cos 2x |
+ c¢ (x) sin 2x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ í |
-2c¢(x) sin 2x + 2c¢ |
(x) cos 2x |
= |
1 |
. |
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D = |
|
cos 2x |
sin 2x |
|
= 2, D2 |
= |
|
cos 2x |
0 |
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
-2 sin 2x |
2 cos 2x |
|
|
-2 sin 2x |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0sin 2x
D1 = |
1 |
|
|
|
|
= -tg 2x, ñ1 |
(x) = - |
1 |
ò tg 2x dx = |
ln|cos 2x| |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2cos2x |
|
|
|
2 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c2 |
(x) = |
1 |
|
òdx = |
1 |
x Þ y = c1 cos 2x + c2 sin 2x + |
|||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
1 |
ln | cos2x | cos2x + |
|
1 |
x sin 2x |
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература: [2. С. 55–90]; [4. С. 70–93]; [5. С. 477–495]; [7. С. 431– 454].
#'
22.ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ÈСИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Опорный конспект ¹ 22
22.1. Линейные ДУ n-го порядка
Î: a0(x)y(n) + a1(x)y(n - 1) + ... + an(x)y = b(x) (*). Общее решение ЛОДУ n-го порядка: y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn, ãäå y1(õ), y2(õ),
...yn(х) - система фундаментальных решений. Общее решение ЛНДУ (*):
y = y* + y (cì. ï. 21.3.3)
22.2. Нормальные системы ОДУ О: yi¢ = fi(x, y1, ..., yn), i = 1,n.
¶fi , ¶fi , ¶fi
Ò. Êîøè: fi(t,x,y,z), i = 1,2,3, ¶x ¶y ¶z — непрерывны
â D É (t0,x0,y0,z0) Ю $! решение х = х(t), y = y(t), z = z(t) зада-
÷è Êîøè y |
¢ = f (t,x,y,z), i = 1,2,3, x |
t =t |
= x0, y |
t =t |
= y0, z |
t =t |
= z0 |
i |
i |
0 |
|
0 |
|
0 |
22.3.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
dy
dx = f (x, y), x Î [a,b], y(x0) = y0
Метод Эйлера: h = |
b - x0 |
, |
y |
= ó |
|
|
|
+ f (x |
|
, y |
|
|
)h. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
k - |
1 |
k - 1 |
k |
- 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Метод Рунге–Кутта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
|
= y + Dy , Dyi = |
1 |
(k1(i) + 2k2(i) + 2k3(i) + k4(i)), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
i + |
|
i |
|
i |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k(i) |
|
|
|
|
|
|
|
k(i) |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
k |
(i) |
|
|
|
|
|
|||
|
= |
f (x |
, y )h, |
|
= f (x |
+ |
|
, y |
+ |
|
1 |
)h, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
i |
|
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
i |
2 |
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
k(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k(i) |
= f (x |
+ |
|
|
, y |
+ |
|
2 |
)h, k(i) |
= f (x |
+ h, y |
+ k(i) )h |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
i |
2 |
|
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
i |
|
|
i |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$