9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

О: Определенным интегралом (о. и.) от функции f (x) на [a,b] называется предел ее интегральной суммы (17.1) при maxDxi ³ 0, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения [a,b] на отрезки [xi-1, xi] и от выбора xi Î [xi-1, xi].

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) — подынтегральной функцией. Если для f (x) на [a,b] выполнены условия определения о.и., то f (x) называют интегрируемой (по Риману) на [a,b].

Т. существования: Если f (x) О C[a,b],то она интегрируема на [a,b] n

Доказательство см. в [1. C. 259].

Из определения о.и. следует, что интеграл зависит от вида f (x), пределов a, b, но не зависит от того, какой буквой обозначена переменная х, т.е.

aa

Из п. 17.1.1 и 17.1.2 и определения о.и. получаем формулы

b

площади криволинейной трапеции: SD = ò f (x) dx, работы силы

a

17.2. Свойства определенного интеграла

b b b

10. ò( f (x) ± j(x)) dx = ò f (x) dx ±òj(x) dx.

a a a

qПо определению о.и. и теореме о пределе суммы

b b

=ò f (x) dx ±òj(x) dx x

aa

b b

20. Åñëè k = const, òî òkf (x) dx = kò f (x) dx.

a a

Доказательство аналогично 10.

Доказательство следует из определения интеграла и теоремы о пределе суммы, если точку с выбрать точкой деления при составлении интегральной суммы для f (x).

Свойство справедливо и при другом расположении точек a, b, c, если интегралы существуют. Из него следует интегрируемость непрерывной за исключением конечного числа разрывов 1-го рода на [a,b] функции f (x).

bb

60. f (x) £ j(x) " x Î[a,b] Þ ò f (x) dx £ òj(x) dx.

aa

q ò f (x) dx - òj(x) dx = ò[ f (x) - j(x)] dx =

17.3. Формула Ньютона—Лейбница

Вычисление о.и. по определению как предела интегральной суммы сопряжено с громоздкими выкладками и часто затруднительно. Вычисления значительно упрощаются, если использовать

!

формулу Ньютона—Лейбница. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

x

Ô(x) = ò f (t) dt, a £ t £ x.

a

В цепочке равенств используются свойства 50, 70 x

Из Т.1 следует, что если f (x) О C[a,b], то f (x) имеет первообраз-

x

íóþ Ô(õ), ò.å. ò f (t) dt (Т.1, разд. 15.1 доказана).

a

Т.2: Если F(x) — первообразная для f (x), то

b

ò f (x) dx = F (b) - F (a).

a

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница n

qТак как наряду с F(x) по Т.1 функция f (x) имеет первооб-

x

разную Ф(x) = ò f (t) dt, то Ф(х) = F(x) + c, c = const. При х = а имеем

a

a

ò f (t) dt = F (a) + c = 0 Þ c = -F (a).

a

"

x

Таким образом, ò f (x) dx = F (x) - F (a).

a

b

При х = b получим ò f (t) dt = F (b) - F (a)

a

b

или по формуле (17.2) ò f (x) dx = F (b) - F (a) x

a

Формула Ньютона—Лейбница дает метод вычисления определенных интегралов в случае, когда первообразная для f (x) известна.

17.4. Интегрирование заменой переменных

èпо частям в определенных интегралах

1.Замена переменной. Пусть f (x) О C[a,b], функция x = j(t), переводящая [a, b] в [a, b], j(a) = a, j(b) = b, непрерывно диффе-

ренцируема на [a, b]. Тогда справедлива формула

bb

ò f (x) dx = ò f [j(t)]j¢(t) dt.

aa

q По свойству 50 инвариантности формы определенного интеграла

b

= F (b) - F (a) = ò f (x) dx,

a

где F(x) — первообразная для f (x) x

#

следует из формулы интегрирования по частям неопределенного интеграла.

17.5.Несобственный интеграл

17.5.1.Нс.и. с бесконечными пределами интегрирования

b

Пусть f (x) непрерывна на [a, ¥). Тогда функция Ф(b) = ò f (x) dx является непрерывной функцией от b при b О (a, ¥). a

$

¥

О: Несобственным интегралом (нс. и.) ò f (x) dx от непрерыв-

a

Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

F ¢(x) = f (x) — обобщенная формула Ньютона—Лейбница.

О: Несобственным интегралом от непрерывной на (-¥, ¥)

Он сходится, если сходятся оба интеграла справа, и расходится, если расходится хотя бы один из них. Геометрический смысл

¥

сходящегося несобственного интеграла ò f (x) dx ïðè f (x)>0 çà-

a

ключается в том, что его можно трактовать как площадь бесконеч- ной криволинейной трапеции с границей ¶D : y = f (x), x = a, y = 0 (рис. 17.4).

Y

y = f ( x )

X

O a

Ðèñ. 17.4

Ðèñ. 17.4

%

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится ли данный интеграл. Такой вопрос решается применением признаков сходимости. Приведем без доказательства признак сравнения для неотрицательной функции.

Т: Пусть для всех х ³ а выполняется неравенство 0 £ f (x) £ j(x). Тогда

предыдущий пример), то и данный интеграл — сходящийся Для f (x), принимающей при х ³ а значения разных знаков,

применяется следующий признак сходимости.

+¥ +¥

Теорема: Если ò f (x) dx сходится, то сходится и ò f (x)dx n

17.5.2. Несобственный интеграл от разрывных функций

Если функция f (x) непрерывна на (a,b), а при х = b имеет разрыв 2-го рода, то ранее данное определение определенного интеграла неприменимо.

&

О: Несобственным интегралом от функции f (x) О C[a,b] , имеющей разрыв 2-го рода при х = b, называется

функции f (x), непрерывной на (a, b) и имеющей разрыв 2-

Если пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

О: Несобственным интегралом от функции f (x), непрерывной на [a, x0), (x0, b] и имеющей разрыв 2-го рода при х = х0, íà-

Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла справа, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

Пример:

т.е. интеграл расходится. Расходимость может иметь место лишь в случае нс.и. от неограниченной функции.

Литература: [1. C. 232–272]; [5. C. 266–283]; [6. C. 330–359]; [7. C. 177–196].

'

18.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Опорный конспект ¹ 18

18.1. Вычисление площади плоской фигуры (SD)

18.1.1. SD в декартовых координатах

y = f ( x )

18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой

SD = ò y(t)xt¢ dt