9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Переходим к полярным координатам:

33.1. Метод Даламбера

Решение большинства задач вида 1–3 (разд. 32.2) сопряжено с серьезными математическими трудностями, поэтому в основном эти задачи решаются приближенно [7. С. 635]. Но для некоторых УМФ разработаны точные методы их решения: метод Даламбера, Фурье, операционный метод.

Метод Даламбера состоит в упрощении уравнения (32.4) в слу-

÷àå a212 - a11a22>0 путем замены переменных x = j(х,у), h = y(x,y), чтобы полученное после замены новое уравнение из вторых про-

изводных содержало только смешанную производную.

Пусть необходимо решить задачу Коши для бесконечной струны:

Для решения применим метод Даламбера. Характеристическое уравнение (dx)2 - a2(dt)2 = 0. Отсюда dx = ±a dt Ю x = ±at + c, или c1 = x - at, c2 = x + at. Сделаем в (33.1) замену переменных:

"

u = F1(x) + F2(h). Отсюда u(x,y) = F1(x - at) + F2(x + at) — общее решение уравнения (33.1), которое называется решением Даламбе-

ра. Для нахождения функций F1 è F2 используем начальные усло-

"

Формула (33.3) и дает решение поставленной задачи, если y(х) — дифференцируемая функция, а j(х) — дважды дифференцируемая.

33.2. Метод Фурье

Метод Фурье, или метод разделения переменных, основан на разделении переменных в уравнении (32.1) путем замены u(x, y) = X(x)Y(y).

Применим этот метод при решении задач для уравнений (32.1)–(32.3).

33.2.1. Решение смешанной задачи для уравнений колебаний струны

Задача. Найти решение уравнения (32.1) для струны конечной

Нетривиальное решение данной задачи будем искать в виде u(x,t) = U(x)T(t). Подставив его в (32.1), имеем

Так как левая часть в (33.6) зависит от t , а правая — только от х, то знак равенства между ними может иметь смысл лишь в том

" !

случае, если обе части равны постоянной, которую обозначим -l. Пусть l > 0, тогда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Постоянные А, В, С, D определяются из заданных в задаче условий. Подставим (33.9) в граничные условия (33.4) (T(t) ¹ 0):

X º 0, u º 0. В результате получаем последовательность частных решений

Cn = BnCn¢, Dn = BnDn¢ — последовательность частных решений (32.1). Их сумма

" "

в силу линейности и однородности (32.1) тоже является его решением, удовлетворяющим (33.4), если выполняются определенные условия относительно сходимости ряда (33.10) [7. С. 92]. Достаточно обеспечить правильную сходимость ряда (33.10) и рядов, полученных из него почленным двойным дифференцированием по х и по t. Если предположить, что l < 0, то уравнение (33.7) приняло бы вид X ¢¢ - k2X = 0, -l = k2. Его общее решение X = Aekx + +Be-kx не может удовлетворить условиям (33.4).

значениями данной краевой задачи, а соответствующие им функции Хn(х) — собственными функциями.

Для определения Cn è Dn в (33.10) используем начальные условия (33.5):

Если функции f (x), j(x) удовлетворяют условиям разложения

Таким образом, ряд (33.10) с коэффициентами (33.11) является решением поставленной задачи.

33.2.2. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности

Задача. Найти решение уравнения (32.2), 0 < x < l, t > 0, удовлетворяющее граничным

условиям.

" #

Решение, как и в предыдущей задаче, ищем в виде u(x,y) = = X(x)T(t). Подставив его в (32.2), получим аналогично п. 33.2.1 два обыкновенных дифференциальных уравнения

Общее решение (33.14) Х(х) имеет вид (33.9). Решаем (33.15), являющееся уравнением с разделяющимися переменными:

dT = -a2ldt Þ lnT = -a2lt + lnc Þ T (t) = c e-a2lt , c = const.

T

Используя граничные условия (33.12), аналогично п. 33.2.1 получаем решение в виде ряда

Для определения Вn используем начальное условие (33.13):

Если выполняются условия разложения y(х) в ряд Фурье, то

Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид (33.16), где коэффициенты определяются формулой (33.17).

33.2.3. Решение задачи Дирихле в круге

Задача Дирихле. Найти в круге радиусом R с центром в начале координат дважды дифференцируемую функцию u(x,y), непрерывную в замкнутом круге и удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

а на границе L: x2 + y2 = R2 — граничному условию u|L = f(x,y).

"$

Для решения задачи перейдем в уравнении (33.18) к полярным координатам [2. С. 101]; [9. С. 136]: x = r cos j, y = r sin j Ю

Будем искать частное решение в виде u = F(j)P(r), подставим его в (33.19):

Функция в левой части зависит только от j, в правой части — от r, поэтому знак равенства может быть при условии, что обе части равны некоторой константе — k2. Тогда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения 2-го порядка, линейных и однородных:

Общее решение (33.20): F = Ak cos kj + Bk sin kj. Решение (33.21)

èùåì â âèäå P = r m, подставим его в уравнение: r 2m(m - 1)r m-2 +

+ rmr m-1 + k2r m = 0 Þ m2 - k2 = 0.

Отсюда получаем два частных решения уравнения (33.21): rk è r -k, которые образуют фундаментальную систему решений. Общее его решение имеет вид

Таким образом, при любом k, отличном от нуля, функция

является решением (33.19). При k = 0 уравнения (33.20), (33.21) принимают вид

" %

и являются ОДУ, допускающими понижение порядка (см. разд. 21.2). Их общие решения соответственно

F(j) = A0 + B0j, P(r) = C0 + D0lnr ; u0 = (A0 + B0j)(C0 + D0lnr).

Так как при одном и том же r должно быть u0(r,j) = u0(r,j + + 2p), òî B0 = 0. В силу непрерывности u(r,j) решение при r = 0 должно быть конечным, т.е. Dk = 0, D0 = 0. Таким образом, u0 = A0C0. Обозначив A0C0 через A0/2, имеем u0 = A0/2. Составим решение уравнения (33.19) в виде суммы решений (33.23), оно является периодическим при целых значениях k:

(отрицательные k новых частных решений не дают). Постоянные An è Bn подберем так, чтобы удовлетворялось гра-

ничное условие

Если выполняются условия разложения Ф(j) в ряд Фурье, то

AnR n, BnR n — коэффициенты Фурье этой функции, т.е.

Формулы (33.24), (33.25) и определяют искомое решение. После преобразований [2. С. 319] это решение можно записать в виде так называемого интеграла Пуассона:

" &

33.3.Метод конечных разностей для решения уравнений математической физики

Âразделе 33.2 дано решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности при нулевых граничных условиях методом Фурье. Рассмотрим также приближенный метод решения задачи (32.2), (32.4) раздела 32.3, который часто используется на практике: метод конечных разностей, или метод сеток.

Производные в уравнении теплопроводности заменяются разностями по формулам:

" '

На трех его сторонах — нижней и двух боковых — заданы зна- чения искомой функции u(x,t). Покроем прямоугольник сеткой, образованной прямыми:

x = ih, i = 1, 2, …, t = kt, k = 1, 2, … .

Числа h и t называются шагами сетки в направлении х и t соответственно, точки пересечения прямых — узлами сетки. Обозна- чим их через (i,k). Прямые x = ih, t = kt называют сетчатыми слоями. Определим приближенные значения решения в узлах сетки.

Обозначим u(ih, kt) = ui,k и запишем вместо уравнения ¶u = a2 ¶2u

¶t ¶x2

соответствующее ему уравнение в конечных разностях в точке (ih, kt):

Таким образом, если известны три значения на k-м слое: ui,k;

ui+1,k; ui-1,k, то определяется значение ui,k+1 на (k + 1)-м слое. Нам известны значения u(x,t) при t = 0, т.е. на прямой t = 0:

u(x,0) = j(x). Это означает, что на сеточном слое k = 0 известны все ui,0. Тогда по (33.26) могут быть найдены ui,1, которые используются для нахождения ui,2, и т.д. В результате будут найдены приближенные значения ui,k функции u(x,t) в узлах сетки. Приближенные значения u(x,t) между узлами сетки могут быть найдены методом интерполяции [14. С. 13].

При выборе слишком большого шага t вычисления могут быть неустойчивыми, поэтому необходимо выполнение условия:

h2

t £ 2a2 , причем формула для ui,k+1 упрощается при выборе

t = ha22 : ui,k+1= t (ui+1,k + ui-1,k).

2 2

Литература: [2. С. 310–325]; [3. С. 315–350]; [9. С. 114–175].

"