9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Начало разработки теории графов относится к постановке и решению задачи о Кенигсбергских мостах Эйлером.

Задача. Расположение мостов приведено на рис. 38.6. Требуется пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходную часть города (суши).

=

> @

?

Обозначим часть суши точками =, >, ?, @ и составим граф задачи (рис. 38.7). Обходу мостов соответствует последовательность ребер графа, причем два соседних ребра имеют общую вершину, т.е. маршрут. Так как в конце обхода нужно вернуться в исходную часть города и на каждом мосту побывать один раз, то этот маршрут является циклом, содержащим все ребра графа. Решение задачи сводится к ответу на вопрос, существует ли в данном слу- чае такой цикл?

О: Связный неориентированный мультиграф называется эйлеровым, если существует цикл, содержащий все ребра графа (эйлеров цикл).

Эйлеров граф (цикл) можно считать следом пера, вычерчивающего этот граф, не отрывающегося от бумаги.

Т: Неориентированный связанный мультиграф / эйлеров тогда и только тогда, когда степени его вершин четны n

Доказательство в [10. C. 106].

Из теоремы следует вывод, что задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, так как все вершины имеют нечетную степень. Эйлеров граф изображен на рис. 38.8.

"&

О: Связный неориентированный граф G называется гамильтоновым, если существует простой цикл, проходящий через каждую вершину графа (гамильтонов цикл).

Гамильтонов цикл изображен на рис. 38.9.

Ðèñ. 38.9

Ðèñ. 38.8

Во многих прикладных задачах используется следующее утверждение: в конечном связном графе всегда можно построить ориентированный цикл, проходящий через каждое ребро по одному разу в каждом из двух направлений.

38.3. Некоторые классы графов

Многие графы, употребляемые в приложениях, в частности графы сортировок, классификаций, имеют диаграммы, называемые деревьями.

О: Связный неориентированный граф без циклов (в частности, без петель и кратных ребер) называется деревом. Несвязный неориентированный граф без циклов называется лесом, а его связные компоненты — деревьями.

Любая часть леса или дерева также является лесом или деревом. Любая цепь в таком графе является простой.

Например, граф на рис. 38.10 — дерево, на рис. 38.11 — лес.

"&

Т: Любые две вершины дерева связаны одной и только одной цепью n

Доказательство в [10. С. 110].

О: Остовом графа G = {V,E} называется дерево H = {V,E*},

E* E.

C помощью построения оптимального дерева могут быть решены задачи оптимизации на графах. Рассмотрим одну из задач.

Задача. Известны расстояния между каждой парой из n вершин. Нужно так соединить вершины, чтобы получился неориентированный граф — дерево с минимальной суммарной длиной ветвей (кратчайший остов).

Правило построения (алгоритм) такого кратчайшего остова следующее. Строится ребро, соединяющее две вершины, между которыми наименьшее расстояние. Одна из вершин считается корнем дерева, а вторая соединяется со следующей вершиной, выбираемой так, чтобы расстояние между ними было меньше, чем расстояние до любой другой из оставшихся вершин.

Так же строятся следующие ребра.

Пропускается при этом лишь построение ребер, образующих циклы с ранее построенными. Таким образом получается дерево с n 1 ребрами и с заданными вершинами, суммарная длина ребер у которого минимальна

Алгоритм сохраняется для мультиграфа G {V, E}, каждому ребру l которого приписана мера (l).

Например, для мультиграфа на рис. 38.12 с ребрами и их мерами:

В качестве кратчайшего остова можно выбрать: (l5,l2,l4), (l5,l4,l1)

èëè (l5,l2,l1).

В ряде задач полезны двудольные графы.

О: Граф G = {V, E} называется двудольным, если V = V1 +V2, причем каждое ребро графа имеет один конец из V1, другой — из V2.

"&!

Ðèñ. 38.13

С двудольными графами связана задача о назначениях. Пусть V1 — множество претендентов на рабочие места, V2 — множество рабочих мест. Необходимо каждого из претендентов обеспечить работой в соответствии с его профессиональной подготовкой.

Пусть, например V1 = {ai, i = 1,6}, V2 = {bi, i = 1,7} и им соответствует двудольный граф G на рис. 38.14.

Задача состоит в том, чтобы из этого графа выделить подграф G*, состоящий из компонент с двумя вершинами, соединенными

"&"

ребром (рис. 38.15); G* называется подграфом назначений. Необходимые и достаточные условия существования подграфа назна- чений приведены в [11. С. 74].

38.4. Понятие об автоматах, их задание графами

Теория автоматов, т.е. устройств со входами и выходами, связана с ее приложениями в проектировании цифровых устройств.

О: Конечным автоматом называется система S = {A,Q,V, , }, в которой A = {a1,a2,...,am} — входной алфавит, V = {v1,v2, ..., vl} — выходной алфавит, Q = {q1, q2, ..., qn} —

ствах, т.е. являются дискретными, их можно задавать таблицами. Обычно обе таблицы сводятся в одну, которая называется таблицей переходов автомата, или автоматной таблицей.

Наглядным способом задания автомата является ориентированный мультиграф, называемый графом переходов, или диаграммой переходов. Вершины графа соответствуют состояниям: если

Граф переходов для таблицы (38.1) изображен на рис. 38.16. В абстрактной теории автоматов изучается работа со словами

при наличии конечной памяти, хотя конечный автомат с функ-

"

CОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1.2.Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность. Методы

1.3.Действия над матрицами. Матричный способ

2.4.Прямоугольная система координат. Координаты

2.7.Смешанное (векторно-скалярное) произведение

3.Аналитическая геометрия на плоскости

"&&

4.Аналитическая геометрия на плоскости:

4.1.Общее уравнение кривой 2-го порядка.

4.5.Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Упрощение уравнений

5.Аналитическая геометрия в пространстве:

6.3.Основные элементарные функции.

7.3.Бесконечно малые и бесконечно большие

7.6.Понятие о неопределенностях.

7.7.Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные

"&'

"'