9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Глава 11

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

32. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Опорный конспект ¹ 32

Задаются начальные и граничные условия, обеспечивающие корректность задач

32.2.Классификация линейных дифференциальных уравнений

âчастных производных II порядка

!'

a11,a12,a22,b1,b2,c — const

a11 (dy)2 + 2a12dy dx + a22(dx)2 = 0 — характеристическое уравнение Ю

1) D = a212 - a11a22>0 — гиперболический тип, приводится к виду

3) D < 0 — эллиптический тип ¶2u + ¶2u = Ô ¶x2 ¶h2

УМФ (32.1) — 1-й тип, (32.2) — 2-й тип, (32.3) — 3-й тип. Три вида задач для уравнений:

1)задача Коши для 1, 2-го типов;

2)краевая задача для 2-ãî òèïà;

3)смешанная задача для 1, 2-го типов (задаются начальные

èграничные условия)

32.1. Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия

Любой технологический процесс протекает в условиях действия основных законов природы, некоторые из них достаточно хорошо изучены и сформулированы в виде математических зависимостей. Часто эти зависимости представляют в форме дифференциальных уравнений в частных производных.

Мы рассмотрим так называемые основные уравнения математической физики (УМФ) [2. С. 294]. С целью упрощения изложения будем рассматривать случай линейных дифференциальных

!'!

уравнений 2-го порядка с частными производными для функций двух переменных.

Основными УМФ называют:

1. Волновое уравнение для неизвестной функции u(x,t)

Таким уравнением описывают процессы поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний, колебаний газа и т.д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье

с помощью которого описывают распространение тепла, фильтрацию жидкости и газа в пористой среде и т.д.

3. Уравнение Лапласа для функции u(x,y)

к которому приводят стационарные задачи об электрических и магнитных полях, гидромеханики, диффузии и т.д.

Соответствующие уравнения для функций с бóльшим числом переменных, например для функций u(x,y,t):

Для описания реального физического процесса необходимо знать начальное состояние процесса (начальные условия), а также значения функции и ее производных на границе области (граничные условия).

!'"

Так, для уравнения (32.1) необходимы четыре условия: по два на каждую из переменных t и x. Например, задача об определении колеблющейся струны: найти дважды дифференцируемую в области D = {(x, t): 0 £ x £ l, t ³ 0} функцию u(x,t), которая удовлетворяет уравнению (32.1) при заданных условиях:

Функция j(х) дает отклонение струны от положения равновесия в т. х в момент t = 0, функция y(х) — скорость струны в т. х в момент t = 0, функции m1(t), m2(t) — законы движения концов струны.

Для уравнения (32.2) начальные и граничные условия записываются в виде

Для уравнения (32.3) задаются только граничные условия, а задача называется краевой. Если ищется функция u(x,y), дважды дифференцируемая и удовлетворяющая в области D уравнению (32.3), принимающая в каждой т. M О L = ¶D заданное значение u|L = y(M), то такая краевая задача называется задачей Дирихле.

Граничные и начальные условия обеспечивают единственность решения поставленных задач [7. С. 46, 196, 297]. Отметим, что с практической точки зрения задача должна быть поставлена корректно, т.е. ее решение не только должно существовать, но и быть единственным и устойчивым (малым изменениям исходных данных должно соответствовать малое изменение решения) [7. С. 297]; [2. С. 325].

32.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка

Было отмечено, что для каждого из приведенных УМФ начальные и граничные условия ставятся по разному. Для того чтобы корректно в указанном выше смысле поставить задачу, прежде

!'#

следует классифицировать УМФ так, чтобы внутри каждого класса уравнений постановка этих условий была одинаковой.

Классификация УМФ в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу [7. С. 18]. Мы же ограничимся лишь случаем линейного дифференциального уравнения в частных производных 2-го порядка с постоянными коэффициентами, общий вид которого

ãäå a11, a12, a22,b1, b2, c — постоянные; u(x,y), F(x,y) — неизвестная и заданная функции соответственно.

Путем замены в (32.4) переменных х, y на новые x, h можно добиться упрощения этого уравнения [7. С. 12]. Для этого предварительно составляется уравнение [2. С. 307] a11(dy)2 + 2a12dy dx + + a22(dx)2 = 0, которое называется характеристическим. Из него находят

Возможны три случая:

1)a212 - a11a22>0, уравнение (32.4) может быть путем замены x = y - a1x, h = y - a2x приведено к виду

!'$

3) a212 - a11a22<0, уравнение (32.4) приводится к виду

íèÿ.

Таким образом, (32.1), (32.2), (32.3) — уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно.

Различают три вида задач для этих уравнений:

1)задача Коши для уравнений гиперболического и параболи- ческого типов: задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения не ограни- чена;

2)краевая граничная задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе L = ¶D области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

3)смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов (задаются начальные и граничные условия).

32.3.Построение математической модели задачи

îраспространении тепла

Рассмотрим однородный неравномерно нагретый стержень длиной l. Условимся о предположениях, что его боковая поверхность теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения температура одинакова. Расположим ось Ох так, чтобы один конец стержня находился в точке О, а другой — в точке x = l (рис.32.1). Обозначим через u(x,t) температуру стержня в момент t в точке х. Требуется найти зависимость u(x,t), если при t = 0 функция u(x,0) = j(х) (в начальный момент задана температура в различных сечениях стержня) и при х = 0, х = l соответственно u(0,t) = y1(t), u(l,t) = y2(t) (известна температура на концах стержня в любой момент t).

Ðèñ. 32.1

!'%

Известно, что скорость распространения тепла q, т.е. количе- ство тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, находится по формуле

q = -g ¶u S,

¶x

где S — площадь сечения, g — коэффициент теплопроводности. Рассмотрим элемент стержня между сечениями с абсциссами х и х + Dх. Количество тепла DQ, сообщенное ему за время Dt, определяется формулой

Применяя формулу Лагранжа (разд.10.1), получим

Пусть выделенный элемент стержня является столь малым, что в каждый момент температуру всех его точек можно считать одинаковой. Тогда сообщенное этому элементу стержня количество тепла DQ за время Dt можно определить по формуле

DQ = ÑrS(u(x, t + Dt) - u(x,t))Dx,

где С и r — соответственно теплоемкость и плотность вещества, из которого состоит стержень.

Применяя формулу Лагранжа, будем иметь

!'&

После сокращения на SDtDх и перехода к пределу при Dх ® 0, Dt ® 0 окончательно получаем уравнение

Это и будет уравнение распространения тепла в однородном стержне (уравнение теплопроводности) (32.2).

Итак, математическая модель задачи о распространении тепла в стержне имеет следующий вид (смешанная краевая задача):

Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности,

начальному условию u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l,

и граничным условиям u(0,t) = y1(t), u(l,t) = y2(t), 0 £ t £ T. (32.4).

Литература: [2. С. 292–306]; [9. С. 83–114].

33.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Опорный конспект ¹ 33

33.1. Mетод Даламбера

Состоит в упрощении уравнения (*) гиперболического типа (см. ОК 32.2) путем замены

x = y - a1x, h = y - a2x. Пример — решение задачи Коши:

!''

1 x+at

u(x,t) = [j(x - at) + j(x + at)]/2 + 2a x-òat y(x)dx

33.2. Метод Фурье

Он основан на разделении переменных в (*) путем замены u(x,y) = X(x)Y(y).

33.2.1. Решение смешанной задачи:

"