Метод конформных отображений.

Расчёт поля методом конформных отображений основан на том, что существует возможность отобразить с помощью некоторого математического преобразования заданную область в комплексной плоскости « z » (x + jy) на так называемую каноническую область в комплексной плоскости « ω » ( ξ+j).

В качестве канонической области обычно используется верхняя полуплоскость, а также круг либо полоса. Преобразование называется конформным, так как при переходе от одной области к другой либо обратно сохраняются углы в точках пересечения между любыми линиями в обеих областях _z = _ω (рис.4-3).

jy j

z _ω

1 _z 1 2

ω

2

z_k ω_k

x ξ

Рисунок 4–3

Для изучения полей это очень важно, так как мы знаем, что линии равного потенциала и линии напряжённости всегда пересекаются под прямым углом.

Существует общий подход к преобразованию произвольной многоугольной области, ограниченной ломаной линией на верхнюю полуплоскость и обратно с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца.

Для многих часто встречающихся конфигураций областей получены соотношения, необходимые для преобразования, они приведены в справочной литературе. Рассмотрим некоторые простые примеры.

1. Двугранный угол () – поле между двумя проводящими плоскостями, сходящимися под углом (рис. 4–4а).

jy j

z

U = 0 ω

 C

B C

A U = 0 x B A ξ

0 а) 0 б)

Рисунок 4–4

Проводящие грани имеют одинаковый потенциал (U = 0), совместим ось (x) со следом одной из граней. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:

Положение любой точки на первой грани (точка А), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: , в области ω определяется координатой и располагаются на положительной части вещественной оси ξ. (рис. 4–3б). Изменяется лишь линейный масштаб. Положение любой точки на второй грани (точка B), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: , в области ω определяется координатой и располагаются на отрицательной части вещественной оси ξ. Положение любой точки на биссектрисе угла (точка С), координаты которой в исходной системе координат записываются в виде: , в области ω определяется координатой и располагаются на мнимой оси j (см. рис.4–4б).

2. Бесконечно глубокий проводящий паз, шириной (d) (рисунок 4–5а).

jy j

A F D z ω

E

E F

d

x ξ

B 0 C A B 0 C D

а) б)

Рисунок 4–5

Пометим начало координат посредине дна паза и направим ось (x) вдоль дна вправо. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:

.

Положение угловых точек (В и С), координаты которых в исходной системе координат записывается в виде: , в области ω также расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами:

.

Положение точек (A и D), координаты которых в исходной системе координат записывается в виде: , в области ω расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами:

.

Положение точки (E), координата которой в исходной системе записывается в виде: , в области ω расположена на мнимой оси j и определяется координатой:

. (см. рис.4–5б).

3. Плоскость с вертикальным выступом (стеной), высотой (h) (рисунок 4–6а).

jy j

B z ω

C B ω₀

z₀

h

x ξ

A 0 D A 0 C 0 D

а) б)

Рисунок 4–6

Начало координат поместим у основания выступа и направим ось (x) вдоль горизонтальной плоскости. Преобразование такой области на верхнюю полуплоскость (ω) осуществляется по формуле:

.

Положение точки (С), координата которой в исходной системе записывается в виде: , в области ω расположена в начале координат, так как определяется координатой:

. Положение точки (0), координата которой в исходной системе записывается в виде: , в области ω вследствие двузначности корня даёт два значения на вещественной оси ξ и определяется координатами: . Положение точек (A и D), координаты которых в исходной системе записывается в виде: , в области ω расположены на вещественной оси ξ и определяется координатами: Положение точки (B), координата которой в исходной системе записывается в виде: (y>h), в области ω расположена на мнимой оси j и определяется координатой: (см. рис.4–6б).

Получение выражения для комплексного потенциала в исходной области на плоскости (z) и определение зависимости плотности заряда () на поверхности проводников рассмотрим на примере плоскости с выступом.

Пусть в исходной системе заряженный провод с зарядом (+) находится в точке с координатой (z₀ = x₀ + jy₀). После преобразования исходной области на каноническую область на основе используемой формулы преобразования найдём место расположения заряженного провода в области ω (рис.4-6): . Затем, используя метод зеркальных изображений, заменим проводящую среду диэлектриком с проницаемостью  и с зеркально расположенным зарядом (–) . Его координата является сопряжённой с координатой исходного заряда: .

Запишем известное выражение для комплексного потенциала в системе двух заряженных осей (проводов).

,

здесь ω – координата произвольной точки поля. В области ω линии равного потенциала и линии напряжённости являются, как мы уже знаем, окружностями. Для перехода к исходной области выразим ω через z, тогда получим:

.

Величину напряжённости в любой точке определяем через производную от комплексного потенциала:

.

После упрощения получим:

.

Подставляя координаты поверхности проводников и умножая на , получим значения поверхностной плотности заряда на поверхности проводников:  = D =  E .