Плоскопараллельное магнитное поле.

Плоскопараллельное магнитное поле создаётся системой параллельных весьма длинных проводов с постоянными токами. Как и в случае электрического плоскопараллельного поля, картина поля во всех плоскостях, перпендикулярных осям проводов, одинакова, и достаточно проанализировать поле в одной из этих параллельных плоскостей.

Рассмотрим вначале поле кругового провода с постоянным током (рис.7–2).

a

n

V_m = const

 i U_m = const

Рисунок 7–2

Линии напряжённости магнитного поля, созданного током в круговом проводе, представляют собой окружности с центром на оси проводника, причём они существуют и внутри проводника с током. Линии равного магнитного потенциала перпендикулярны силовым линиям напряжённости и являются радиальными лучами вне проводника с током.

Вводя, по аналогии с плоскопараллельным электрическим полем, понятие потока вектора напряжённости магнитного поля, величину этого потока на единицу длины системы в осевом направлении назовём функцией потока вектора H и обозначаем его через V_m. При этом уравнения вида V_m = const описывают линии напряжённости магнитного поля.

Семейство линий, описанных уравнениями U_m = const и V_m = const, построенных при постоянстве приращения магнитного потенциала и функции потока от линии к линии, образуют картину магнитного поля вне провода с током. Вводя, как и ранее криволинейные координаты, связанные с линями поля, можем записать:

,

причём координата dn возрастает в направлении вектора напряжённости магнитного поля H , а координата da – в направлении, определяемым вектором H после его поворота на 90 градусов против часовой стрелки. Учитывая полную аналогию электрического и магнитного плоскопараллельных полей, можем также воспользоваться методами теории функций комплексного переменного.

Комплексный потенциал магнитного поля.

Введём комплексный потенциал плоскопараллельного магнитного поля по аналогии с комплексным электрическим потенциалом:

W_m = V_m + jU_m

Магнитный потенциал и функция потока удовлетворяют уравнению Лапласа вне областей с током:

U_m = 0; V_m = 0.

Величина вектора напряжённости магнитного поля определяется как производная от комплексного потенциала по координате:

.

Воспользуемся комплексным магнитным потенциалом для анализа магнитных полей, созданных тонкими круговыми проводниками с постоянным током.

Поле уединённого проводника с током.

Запишем комплексный магнитный потенциал в виде:

W_m = V_m + jU_m = k·ln z + C₁ + jC₂ = k·ln r + C₁ + j( k + C₂), откуда

V_m = k·ln r + C₁ ; U_m = k + C₂

Линии V_m = const представляют собой окружности (r = const), а условие постоянства приращения функции потока между соседними линиями означает, что радиусы окружностей должны образовывать геометрическую прогрессию:

V_m = k·ln = const.

Линии U_m = const представляют собой лучи, исходящие из начала координат, совмещённого с осью проводника ( = const), а условие постоянства приращения магнитного потенциала между соседними линями означает, что приращение угла между соседними лучами одно и тоже:

U_m = k· = const

Выбор значений постоянных C₁ и C₂ определяет положение начальных (нулевых) линий скалярного магнитного потенциала и функции потока. При обходе провода по замкнутому контуру против часовой стрелки ( = 2) приращение магнитного потенциала в соответствии с законом полного тока равно току в проводе со знаком минус, так как ток направлен от наблюдателя (рис. 7–2):

U_m = = – i = k· = k·2; k =

Окончательно выражение для составляющих комплексного магнитного потенциала принимает вид:

V_m = ·ln r + C₁ ; U_m =  + C₂