Моделирование электростатических полей полем постоянного тока в проводящей среде

Метод электростатической аналогии в случае сложных границ областей электростатического поля позволяет моделировать эту область с помощью поля тока в проводящей среде. Для моделирования плоскопараллельных полей могут быть использованы твёрдые модели на основе металлических или других токопроводящих листов, например из электропроводной бумаги. Для трёхмерных областей моделирование осуществляется с помощью электролитической ванны.

28. При исследовании плоскопараллельного поля двухпроводной линии передач, которое мы рассматривали как поле двух параллельных заряженных тонких нитей, можно воспользоваться моделью – плоским проводящим листом соответствующей формы с зажимами для подвода тока. Для создания модели изготовим круг из проводящего материала и подведём к нему постоянный ток через медные зажимы (рис. 6–5).

29. 

E(J)

i

Рисунок 6–5

30. Линии напряжённости поля представляют собой окружности, проходящие через электрические оси проводов. В проводящей среде эти линии совпадают с линиями плотности тока в модели. Граница проводящего листа всегда совпадает с линией плотности тока, поэтому в рассматриваемом случае граница области должна быть окружностью, совпадающей с линией напряжённости, проходящей через электрические оси.

31. Измеряя с помощью гальванометра потенциалы точек проводящего листа, построим линии равного потенциала, которые будут перпендикулярны линиям напряжённости, в том числе и границам проводящего листа. Приращение потенциала между соседними линиями выбираем одинаковым. Равнопотенциальные линии идентичны в обоих полях, таким образом, полученная картина соответствует картине исходного электростатического поля. Затем достраиваем картину поля, изображая линии напряжённости, в соответствии с правилами графического построения картины поля.

32. Методы моделирования особенно широко применяются при исследовании полей в областях с границами сложной формы.

33. Лекция 7

Магнитное поле постоянных токов

Из полной системы уравнений электромагнитного поля используем уравнения, относящиеся к магнитному полю:

.

Причиной возникновения магнитного поля является электрический ток. Линии индукции магнитного поля непрерывны, замкнуты сами на себя. Ввиду того, что правая часть первого уравнения не равна нулю, магнитное поле не является потенциальным ( ) и называется вихревым полем.

Мы рассматриваем в данном разделе магнитное поле постоянных токов. Токи смещения, плотность которых определяется производной от вектора смещения по времени , не может быть постоянным, так как это потребовало бы безграничного линейного возрастания величины вектора смещения. Плотность тока переноса также невозможно поддерживать постоянной, так как под действием сил электрического поля изменяется и скорость движения и объёмная плотность заряда. Таким образом, постоянные токи могут существовать только внутри проводящей среды в виде токов проводимости .

В системе проводников с постоянными электрическими токами магнитное поле является вихревым только внутри этих проводников. Вне проводников плотность токов равна нулю ( ). Это означает, что вне проводников с постоянными токами магнитное поле является безвихревым, т.е. потенциальным

В этом случае, как и в электрическом поле, можно ввести вспомогательную скалярную функцию – скалярный магнитный потенциал U_m. Разность магнитных потенциалов между двумя точками определяется как линейный интеграл от вектора напряжённости магнитного поля между этими точками и измеряется в амперах:

U_ma – U_mb =

В дифференциальной форме связь между скалярным магнитным потенциалом и напряжённость магнитного поля имеет вид: = – grad U_m ;

; ; ; ;

Уравнение поверхности равного магнитного потенциала определяется из условия, что на ней в любой точке cos  = 0. Это означает, что линии напряжённости магнитного поля перпендикулярны поверхности равного магнитного потенциала. Уравнение такой поверхности имеет вид U_m(x,y,z) = const.

Кроме рассмотренного выше ограничения о возможности применения скалярного магнитного потенциала только вне проводников с постоянными токами, существует и другое ограничение. Скалярный магнитный потенциал, в отличие от электрического потенциала, является многозначной функцией. Покажем это на примере расчёта разности магнитных потенциалов между точками вблизи проводника с постоянным током (рис. 7–1).

p

a

q

 i

Рисунок 7–1

Рассмотрим совокупность двух путей интегрирования между точками a, b образующих замкнутый контур. Для различных вариантов замкнутых контуров можем записать:

1. ; ; ;

Разность магнитных скалярных потенциалов между точками не зависит от пути интегрирования, если замкнутый контур, образованный этими двумя путями, не охватывает ток.

2. ;

3. ;

Если же контур, образованный двумя различными путями, охватывает электрический ток, то разность магнитных потенциалов для двух различных путей интегрирования отличается на величину тока, охваченного контуром. В общем случае можно записать:

,

где m - любое целое положительное или отрицательное число.

Таким образом, разность скалярных магнитных потенциалов является многозначной функцией и определяется с точностью до некоторого постоянного слагаемого. Многозначность магнитного потенциала не влияет на величину напряжённости магнитного поля, которая определяется через производную от скалярного магнитного потенциала: = – grad U_m ;

Однако первое рассмотренное ограничение для магнитного потенциала забывать нельзя – скалярный магнитный потенциал можно использовать лишь в областях без токов, а в областях, где плотность тока не равна нулю, понятие скалярного магнитного потенциала не существует.