5 Лекция 12 Переменное электромагнитное поле в проводящей среде.
Рассмотрим закон полного тока и закон электромагнитной индукции:
;
Токи переноса не могут существовать внутри проводящей среды, а токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости. Тогда закон полного тока можно записать в виде:
.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрике и падающую перпендикулярно на поверхность проводящей среды. Направим ось z по направлению вектора скорости волны, т.е. внутрь проводника перпендикулярно его поверхности и запишем проекции уравнений на оси декартовой системы координат:
Учитывая, что волна плоская (все величины, характеризующие ее, зависят только от координаты z), из записанной системы уравнений по аналогии с рассуждениями о плоской волне в диэлектрике, можем записать:
Направим ось y по вектору H. В этом случае H = Hy; Hx = 0 , поэтому Ey = 0, и уравнения упрощаются:
После дифференцирования первого уравнения по координате z и подстановке в него второго уравнения, получаем уравнение для вектора напряженности магнитного поля и по аналогии запишем такое же уравнение для вектора напряженности электрического поля:
; ; .
Последние уравнения отличаются от волновых уравнений, полученных для этих векторов при рассмотрении переменного электромагнитного поля в диэлектрике тем, что содержат не вторую, а первую производную от векторов по времени.
Решение уравнения для установившегося синусоидального режима.
При рассмотрении установившегося синусоидального режима напряженности электрического и магнитного поля можно записать в виде мгновенных значений и в комплексном виде:
;
Так как в комплексном виде временная координата t исключается, а дифференцирование по времени заменяется умножением на jω , то переменные зависят только от одной пространственной координаты z, и уравнения могут быть записаны в полных производных:
; ;
Решим уравнение для напряженности магнитного поля:
, где ;
– корни характеристического уравнения
Преобразуем выражение для корня характеристического уравнения:
, где
Тогда решение для напряженности магнитного поля можно представить в виде:
.
При z, стремящемся к бесконечности, множитель ekz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A2 = 0
Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет вид:
Постоянную A1 определим из граничных условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис.12–1) при z = 0.
Hme Hm0
z
Рисунок 12–1
Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности магнитного поля в диэлектрике Hme расположен параллельно границе и равен вектору напряженности магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности Hm0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A1 из граничного условия: при z = 0
Окончательно можем записать: .
Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:
Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля :
.
Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:
.
Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе ( = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области. Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:
, причем , а X - индуктивное сопротивление
Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:
.
Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:
.
Плотность тока проводимости определяется из соотношения Jпр = E и равна:
. (*)
Следует помнить, что в рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые, изображающие качественное распределение напряженности электрического и магнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t = 0), принимая, что начальная фаза (рис.12–2).
x
Hy
z
0
v
Ex
y
Рисунок 12–2
Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e-kz.