Закон полного тока и закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

Применим названные законы для малого контура l₀, ограничивающего некоторую поверхность S, сквозь которую проходит ток i (либо магнитный поток Ф). Стягивая контур l₀, в точку, т.е. устремляя S к нулю, рассмотрим пределы отношений обеих частей уравнений к величине S, при её стремлении к нулю:

;

(В законе электромагнитной индукции в правой части стоит частная производная по времени, так как поток изменяется и во времени и за счет уменьшения размеров площадки S, охваченной контуром интегрирования).

Для правой части закона полного тока можем записать:

,

где  – угол между вектором плотности тока и нормалью к поверхности, ограниченной контуром интегрирования l_o. Предел отношения в левой части уравнения называется проекцией ротора вектора на ту же нормаль:

.

Ориентируя нормаль к площадке вдоль осей координат, получим равенство всех компонентов рассматриваемых векторов. Это означает, что оба вектора равны друг другу. Поэтому можем записать закон полного тока в векторной форме:

.

Ротор вектора также является вектором, поэтому записанное уравнение содержит три уравнения для проекций вектора и является инвариантным по отношению к системе координат. Записать это уравнение в декартовой системе координат можно с помощью оператора «набла», применяя операцию векторного умножения:

=

= ( ) + ( ) + ( ) .

В скобках записаны проекции вектора плотности тока на оси координат:

J_x= ; J_y= ; J_z= .

По аналогии запишем выражение для закона электромагнитной индукции:

.

Оно также содержит три уравнения для проекций.

Полная система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме.

; ; ; ; ; ; .

Представленная полная система уравнений позволяет рассчитывать любые электромагнитные поля. В частных случаях для расчёта могут потребоваться только некоторые уравнения из системы. Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать граничные и начальные условия, соответствующие рассматриваемой конкретной задаче. Для задания граничных условий необходимо представлять, как изменяются векторы в электромагнитном поле на границах раздела сред с раз личными свойствами.

Граничные условия

Граничные условия в электростатическом поле.

1. На поверхности раздела диэлектриков.

₁ ₂ ₁ ₂

b c

E₂ ( D₂) S_т1 D₂

₂ ₂

₁ ₁ S_т2

a d

S_бок

E₁ (D₁) D₁

а) б)

Рисунок 1-1

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ₁ и ₂ (рис. 1-1) происходит преломление векторов напряжённости и смещения. Границу в малой окрестности рассматриваемой точки считаем плоской. Применяя к малому прямоугольному замкнутому контуру «abcda» (рис.1-1 а), длинные стороны которого параллельны границе и вплотную прилегают к поверхности раздела, запишем закон электромагнитной индукции, учитывая, что магнитный поток сквозь бесконечно малую площадку, ограниченную контуром «abcda», равен нулю:

.

Представив этот интеграл в виде суммы, получим:

.

На отрезках ab и cd, ввиду их малости, считаем напряжённость одинаковой и равной соответственно и Интегралами по отрезкам bc и ad контура пренебрегли, так как они бесконечно малы по сравнению с отрезками ab и cd (bc= ad<< ab= cd). Окончательно можем записать:

или .

На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряжённости электрического поля.

Для замкнутой поверхности, образованной боковой поверхностью цилиндра и двумя торцевыми поверхностями, расположенными вплотную к поверхности раздела диэлектриков, (рис.1-1 б), применяя постулат Максвелла, можем записать:

.

Интегралом по боковой поверхности цилиндра пренебрегаем ввиду его малости, по сравнению с интегралами по торцам, в пределах которых считаем векторы электрического смещения постоянными и равными соответственно и . Потоки через торцы разного знака, так как один из них входит в поверхность, а другой выходит, поэтому, сократив на можем записать:

; .

На поверхности раздела диэлектриков отсутствует поверхностные заряды ( = 0). Запишем окончательно граничные условия для вектора электрического смещения:

или

На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны нормальные (по отношению к границе) составляющие векторов электрического смещения.

Поделив соотношения, записанные для составляющих векторов, получим условия преломления векторов на границе раздела: