Случай линейных проводником с током.
Проводники считаются линейными, когда размеры поперечного сечения проводника намного меньше его длины (рис. 8–1).
dv
r
l
Рисунок 8–1
Запишем выражение для векторного потенциала, учитывая, что направления векторов
и
совпадают, а ток сквозь любое сечение
проводника одинаков:
.Если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то следует интегрировать вдоль всех проводников с токами, тогда:
Полученные соотношения пригодны для определения векторного потенциала (его проекций) по заданному распределению плотностей тока в пространстве, как в областях вне токов ( ), так и внутри проводников с токами ( ).
Все полученные соотношения для определения векторного потенциала справедливы в предположении, что в магнитном отношении среда однородна = const ≠ f(x,y,z) или кусочно-однородна. Если среда неоднородна, то нельзя выносить за оператор ротора:
, так
как
.Мы ввели вспомогательный величину – векторный потенциал, вычислив который можно затем определить характеристики магнитного поля – магнитную индукцию и напряжённость магнитного поля. В электрическом поле введение и отыскание скалярного электрического потенциала имеет смысл, так как проще найти скалярную функцию, а затем по ней характеристики поля. Возникает вопрос, зачем вводить и определять вспомогательную векторную функцию, если можно непосредственно рассчитать векторы индукции и напряжённости магнитного поля. На первый взгляд здесь не обнаруживается никакого упрощения расчётов. Однако преимущества использования векторного потенциала наглядно проявляются при вычислении интегральных характеристик магнитного поля. Рассмотрим это на примере определения магнитного потока.
Определение магнитного потока через векторный потенциал.
Определим магнитный поток через некоторую поверхность S, ограниченную замкнутым контуром l (рис. 8–2).
S
l
Рисунок 8–2
Запишем выражение магнитного потока через индукцию магнитного поля, а затем, выразив индукцию через векторный потенциал и применив теорему Стокса, получим:
.
Вычисление магнитного потока удобнее производить, интегрируя векторный потенциал по замкнутому контуру, так как необходимо знать векторный магнитный потенциал лишь на контуре l , ограничивающем поверхность S , и не требуется определять магнитную индукцию на всей поверхности S.
При рассмотрении граничных условий из интегралов по замкнутым контурам для векторов поля мы получали на поверхности раздела сред равенство касательных составляющих векторов. По аналогии можем записать:
A1 = A2
Таким образом, на поверхностях раздела различных сред не изменяются ни нормальные, ни касательные составляющие векторного магнитного потенциала. Это означает, что при переходе из одной среды в другую векторный магнитный потенциал не изменяется ни по величине, ни по направлению.
Пример
Определим магнитный поток, сцепляющийся с прямоугольной рамкой, расположенной в одной плоскости с прямолинейным проводником с током, причём две стороны рамки параллельны проводнику с током (рис.8–3).
i
0 dz
z
– L a b r1 + L
r2
A1
l Ak
A2
h
Рисунок 8–3
Выразим магнитный поток через векторный потенциал и, учитывая, что магнитное поле плоскопараллельное, и векторный потенциал имеет единственную составляющую:
, получим: 
.
Определим значения векторного магнитного потенциала (A1 и A2) на ближней и дальней сторонах рамки. Так как для бесконечно длинного провода векторный потенциал определить невозможно, ибо ток в проводе получается незамкнутым ( не выполняется принцип непрерывности электрического тока), то будем сразу определять разность указанных векторных потенциалов (A1 – A2). В этом случае влияние бесконечно удалённых концов провода с током на одну и другую сторону рамки компенсируются.
.
При устремлении координаты L к бесконечности первый логарифм обращается и нуль, так как дробь стремится к единице, и окончательно получим:
и величина
магнитного потока равна:
.Простота вычисления магнитных потоков с помощью векторного потенциала позволяет успешно использовать векторный магнитный потенциал для расчёта собственных и взаимных индуктивностей.