Лекция 4 Метод зеркальных изображений.

Метод применим для расчёта полей, созданных системой источников поля (зарядов в электростатическом поле либо токов в магнитном поле и в электрическом поле постоянных токов), расположенных вблизи плоской бесконечно протяжённой границы, разделяющей области с различными характеристиками среды (, , ). Рассмотрим метод на примере электростатического поля, созданного системой зарядов вблизи плоской проводящей границы.

Пусть в диэлектрике на высоте h над проводящей плоскостью находится заряженное тело с зарядом +q (рис.4–1а).

jy

+q jy +q

h h

 x  x

  U = const  U = const

а) h

–q

б)

Рисунок 4–1

Поле, созданное зарядом q , приведёт к уходу с поверхности проводника одноименных зарядов, т.е. к появлению на поверхности слоя зарядов противоположного знака, распредел1нных по поверхности с некоторой плотностью (), величина которой в разных точках различна. Линии напряжённости начинаются на теле с положительным зарядом (+q) и заканчиваются на проводящей плоскости с зарядом (– ), причём линии напряжённости будут подходить к проводящей равнопотенциальной поверхности под прямым углом. Рассчитать такое поле можно, лишь зная закон распределения поверхностного заряда  на проводящей плоскости:  = D = E = . Для этого необходимо знать зависимость потенциала от координат U (x, y, z) , что невозможно не зная закон распределения заряда  (x, y, z).

Рассмотрим поле в диэлектрике, созданное двумя заряженными одинаковыми телами с равными и противоположными по знаку зарядами (+q, – q ), расположенными на расстоянии 2h друг от друга (рис. 4–1б). Созданная такой системой зарядов картина поля симметрична относительно плоскости, все точки которой равноудалены от заряженных тел. Линии напряжённости электрического поля в силу симметрии перпендикулярны этой плоскости. Поэтому плоскость симметрии является поверхностью равного потенциала.

Сопоставляя полученную (рис.4–1б) и исходную (рис.4–1а) картины полей, можем утверждать, что из-за одинаковой геометрии и граничных условий картины поля в верхней полуплоскости идентичны, а, следовательно, все характеристики поля полностью совпадают.

Таким образом, метод зеркальных изображений позволяет заменить проводящую среду, ограниченную плоской поверхностью, диэлектриком с зеркальным изображением заряженного тела и с изменением знака заряда на противоположный. При этом поле в исходной области остаётся неизменным.

Расчёт поля системы двух зарядов в диэлектрике существенно проще, чем в исходной задаче, т.е. метод зеркальных изображений позволяет упростить расчёт поля. Этот метод применим для любого количества заряженных тел, а в плоскопараллельных полях для любого числа параллельных земле проводов с зарядами.

Рассчитав потенциал этим методом, легко определить через его производную на плоскости симметрии распределение зарядов на поверхности проводника.

| _y=0

Применение метода зеркальных изображений возможно и в случае, когда заряды находятся внутри диэлектрика между гранями двугранного угла «», образованного проводящими поверхностями, если , где «n» целое число. Для угла (рис.4–2) имеем:

-₂ +₁

+₂¹ -₁¹

Рисунок 4-2

Отразим заряд +₁ от вертикальной стенки, вследствие чего появится второй заряд противоположного знака –₂ , и оба эти заряда оказались расположенными над горизонтальной проводящей плоскостью. Отразим эти заряды в горизонтальной плоскости и получим ещё два заряда ( ₂¹ и –₁¹). Полная система из четырёх зарядов образует картину поля в диэлектрике, часть которой в первом квадранте совпадает с исходной картиной поля.

Метод зеркальных изображение применяется и при отражении зарядов в цилиндрических и в сферических проводящих поверхностях. Он также применим при отражении в поверхностях раздела диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями для плоской, цилиндрической и сферической границы. Более подробно эти вопросы рассматриваются в курсе «Расчёт электромагнитных полей».