Уравнения Пуассона и Лапласа.
Преобразуем уравнения электростатического поля, выразив векторные величины через потенциал:
; 
; 
.
Последнее уравнение справедливо в общем случае для диэлектриков с изменяющимися в пространстве свойствами – (x,y,z). Такие случаи встречаются достаточно редко, обычно диэлектрическая проницаемость постоянна во всей рассматриваемой области, либо в отдельных её частях.
Тогда,
вынося диэлектрическую проницаемость
за знак дифференциального оператора,
получим:
div
grad
U
= –
Это уравнение называется уравнением Пуассона для скалярного электрического потенциала, записано в инвариантной форме и справедливо в любой точке поля. В декартовой системе координат, применяя оператор «набла», можем записать:
div
grad
U
=
=
2
U
=
=
–
= U.
В тех точках поля, где отсутствуют свободные заряды ( = 0), потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа:
div grad U =2 U = U = 0.
Уравнения Пуассона и Лапласа являются самыми распространёнными уравнениями математической физики. Они описывают различные потенциальные поля: электростатическое поле, электрическое поле постоянных токов, магнитное поле вне областей с токами, стационарные тепловые поля, течение идеальной жидкости и др.
Рассмотрим частные решения уравнения Пуассона для различных случаев распределения зарядов.
Определение потенциала по заданному распределению заряда.
Для уединённого
точечного заряда из первой части курса
ТОЭ нам известно выражение для
потенциала: 
.
Для совокупности точечных зарядов, распределённых в ограниченной по размерам области пространства, решение для линейной среды получаем на основе принципа наложения, принимая потенциал равным нулю в бесконечности:
,
rk - расстояние от соответствующего заряда до точки, в которой определяется потенциал.
Если задана система тел с зарядами, причём известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределённые заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:
.
Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:
.
Рассмотрим частные случаи распределения зарядов в пространстве.
1.Объемное распределение заряда: dq = dV.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
2. Распределение зарядов на поверхности проводников dq = ds.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
3. Линейное распределение зарядов вдоль тонких проводников dq = dl.
В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:
.
Во всех случаях следует помнить, что полученные выражения справедливы только в том случае, если система зарядов (рис.2–3) расположена в ограниченной области пространства. Они являются частными решениями уравнения Пуассона. Ввиду линейности этого уравнения его полное решение записывается как сумма частного решения и общего решения однородного решения, т. е. уравнения Лапласа:
Физически это означает, что поле в любой точке может быть создано не только зарядами внутри рассматриваемой области, но и зарядами вне её, например, на границе области.
V S
dV
r ds
r
r
l dl
Рисунок 2–3
Способы задания граничных условий в электростатических задачах.
Полученные решения уравнений Пуассона для расчёта потенциала, а затем и остальных характеристик поля практически малоприменимы, так как в реальных технических задачах поле создаётся зарядами, распределёнными на поверхностях проводников. Однако неизвестно, как они распределены на этих поверхностях. Наиболее часто в качестве граничных условий задаются значения потенциалов на поверхностях проводящих электродов |(тел).
Случай, когда на границах заданы значения разыскиваемой величины (потенциала), называется заданием граничных условий первого рода или условий Дирихле. Чаще всего задаётся разность потенциалов между электродами, и возникает вопрос о выборе точки нулевого потенциала. Традиционно поступают следующим образом:
В системе тел ограниченных размеров принимают потенциал равным нулю в бесконечности.
В системе проводящих тел неограниченных размеров за нулевой потенциал принимается потенциал одного из проводников (земля), либо проводника, охватывающего все остальные проводники
Если заданы потенциалы не всех тел (или не все разности потенциалов), то для некоторых проводников должны быть заданы их полные заряды. Для определения неизвестных потенциалов тел следует использовать дополнительные условия, связывающие полные заряды с рассчитываемыми характеристиками поля – напряжённостью и смещением:
.
При решении задачи расчёта поля в кусочно-однородных диэлектриках получаем общее решение уравнения Пуассона в каждой области и сопрягаем их на границах областей с различными диэлектрическими проницаемостями, используя известные соотношения:
; 
; Uk
= Uk+1.
Из второго уравнения, после преобразования получим:
или 
.