Лекция 9 Индуктивность коаксиального кабеля.

По внутренней жиле коаксиального кабеля радиуса R₁ (рис. 9–3) протекает ток в одном направлении, а по наружной оболочке толщиной (R₃ – R₂) такой же ток в обратном направлении.

В каждой области элементарный магнитный поток может быть определен из соотношения:

dФ = B·dS = ₀·H·l·dr.

Запишем выражение для напряжённости магнитного поля и найдём потокосцепление для каждой области внутри кабеля.

R₂

R₁



R₃

Рисунок 9–3

Первая область – внутри прямого проводника с током (0  r  R₁).

В этой области напряжённость магнитного поля возрастает по линейному закону при удалении от оси кабеля:

; ; ; .

Элементарный магнитный поток в первой области проходит внутри проводника, магнитная проницаемость которого обычно равна ₀, и сцепляется лишь с частью всего тока внутренней жилы, определяемой отношением площади, охваченной линиями индукции соответствующего радиуса к площади сечения всей внутренней жилы. Поэтому потокосцепление внутренней жилы можем записать в виде:

.

Последнее соотношение определяет внутреннее потокосцепление провода кругового сечения с постоянным током, равномерно распределённым по его сечению.

Вторая область - в слое изоляции кабеля (R₁  r  R₂)

В этой области напряжённость магнитного поля убывает при удалении от оси кабеля, а элементарный магнитный поток равен элементарному потокосцеплению, так как сцепляется со всем током, проходящим по жиле кабеля, и является внешним по отношению к проводнику с током:

; ; ; .

Внешнее потокосцепление коаксиального кабеля, определяемое магнитным потоком в рассматриваемой области равно:

Третья область – внутри проводника (оболочки) с обратным током (R₂  r  R₃)

В этой области напряжённость магнитного поля зависит от обратного тока:

; ; ;

Элементарный магнитный поток сцепляется с прямым током (+i) и с частью обратного тока ( – i ), поэтому можем записать:

В результате интегрирования получим потокосцепление в третьей области:

Упрощая, запишем окончательно: .

Индуктивность коаксиального кабеля получим, разделив сумму всех составляющих потокосцепления на величину тока в кабеле:

.

Первое слагаемое в полученной сумме называется внутренней индуктивностью прямолинейного провода кругового сечения:

Следует подчеркнуть, что внутренняя индуктивность круглого прямолинейного провода не зависит от его радиуса, а определяется лишь длиной и магнитной проницаемостью материала проводника

Индуктивности тонких проводников с токами

Определение взаимной индуктивности между тонкими контурами. Контур считается тонким, если поперечные размеры проводника намного меньше его длины. Рассмотрим два тонких контура (рис.9–4) и определим магнитный поток и потокосцепление второго контура от тока, протекающего в первом контуре, записав предварительно выражение для векторного магнитного потенциала, создаваемого этим током:

r

dl₁ dl₂

l₁ l₂

Рисунок 9–4

; .

Величина взаимной индуктивности между тонкими контурами определяется следующим соотношением:

Определение индуктивности тонкого контура. В рассматриваемом случае формулу, полученную для взаимной индуктивности тонких контуров, нельзя непосредственно применить для определения собственной индуктивности, как мы это делали ранее, совмещая массивные контуры друг с другом. Попытка замены двукратного интегрирования по объёму двукратным интегрированием по тонкому контуру приводит в этом случае к появлению несобственного интеграла ввиду того, что расстояния между элементами контура могут обращаться в ноль.

Разделим потокосцепление контура на внешнее и внутреннее, предполагая, что ток протекает по оси контура (рис. 9–5).

dl₁

r dl₂

Рисунок 9–5

Внешнее потокосцепление равно внешнему потоку и определяется интегралом по контуру l₂:

, учитывая, что ,

запишем окончательно: .

Внутреннее потокосцепление тонкого контура можно принять равным внутреннему потокосцеплению спрямлённого проводника такой же длины, выражение для которого мы получили, рассматривая коаксиальный кабель:

.

Индуктивность тонкого контура определяется его суммарным потокосцеплением:

.

В двух последних соотношениях предполагается, что магнитная проницаемость проводника может отличаться от ₀.