1490

Сравнивая выражения (2.10а) для спектра несмещенного импульса и (2.33) для спектра смещенного импульса, нетрудно видеть, что спектр смещенного импульса определен в полном соответствии с теоремой смещения. При этом модуль спектра (спектр амплитуд) остается неизменным, а фазовой спектр получает приращение фазы exp(− jω∆t) , линейно зави-

сящее от частоты (см. рис. 2.11, в).

Теорема смещения позволяет обосновать функционирование ряда чрезвычайно важных для радиоэлектроники функциональных элементов и, прежде всего, линий задержки, реализующих задержку сигнала на заданный интервал времени. Представим себе, что некоторое функциональное устройство обладает достаточно широкой полосой пропускания. При этом модуль комплексной частотной характеристики (т.е. амплитудно-частотная характеристика) является равномерным по всей полосе пропускания, а фазочастотная характеристика линейно зависит от частоты. Тогда спектр некоторого сигнала, поданного на вход устройства (например – прямоугольного импульса), на выходе приобретает линейно изменяющийся с частотой спектр фаз, что и будет соответствовать сигналу, задержанному на время ∆t (см. выражение (2.34)). При этом величина задержки будет определяться углом наклона фазовой характеристики устройства. Основой для создания таких устройств являются среды с дисперсией, т.е. среды, скорость распространения радиосигналов в которых зависит от частоты. Простейшим примером такой искусственной среды является коаксиальный кабель, который и был использован в радиолокации для создания первых образцов линии задержки.

72

Таким образом, перемножение сигнала X (t) , обладающего спектром

X& (ω) , и гармонической функции cosω0t приводит к расщеплению спек-

тральной плотности X& (ω) на две составляющие, симметричные относи-

тельно начала координат оси частот (ω = 0) . Данный результат будет ис-

пользован в дальнейшем при анализе спектра модулированных сигналов.

2.5.4. Теорема о преобразовании Фурье свертки

Изменив порядок интегрирования, перепишем данное выражение в виде

74

Таким образом, преобразование Фурье свертки двух функций времени представляет собой произведение преобразований Фурье этих функций.

2.5.5. Преобразование Фурье произведения двух функций времени

Рассмотрим функцию времени

X (t) = X1(t) X2 (t) ,

представляющую собой произведение функций X1(t) и X 2 (t) , считая, что этим функциям соответствуют их преобразования Фурье X&1(ω) и X&2 (ω) .

Запишем преобразование Фурье функции X (t) :

и подставим в него выражение для функции X1(t) в виде обратного пре-

образования Фурье:

X1(t) = 21π ∞∫ X&1(ξ)exp( jξt )dξ .

−∞

откуда, используя теорему задержки для вычисления внутреннего интеграла, найдем

75

Таким образом, спектральная плотность произведения двух функций времени определяется сверткой спектральных плотностей этих функций.

2.6. Преобразование Фурье производной и неопределенного интеграла

Предположим, что имеется некоторый сигнал x(t ), обладающий спек-

тральной плотностью X& (ω). Рассмотрим второй сигнал x1 (t ), который представляет собой производную сигнала x(t ) и найдем его преобразова-

ние Фурье [1]. Поскольку, по определению, производная некоторой функции есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента

то, учитывая линейность операций дифференцирования и интегрирования, запишем

Поскольку в случае δt →0 имеет место неопределенность типа 0/0 то, раскрывая её с использованием правила Лопиталя, получим

X&1 (ω)=δlimt→0 jωexp(− jωt ) X& (ω)= jωX& (ω).

76

где X& (ω) есть спектральная плотность функции x(t ). Таким образом, мо-

дуль спектральной плотности производной некоторого сигнала нарастает с частотой значительно быстрее, нежели модуль спектра исходной функции, поскольку дифференцирование сигнала эквивалентно алгебраической операции умножения спектральной плотности исходной функции на множитель jω. Таким образом, величина jω представляет собой оператор дифференцирования в частотной области. Физически возрастание модуля спектральной плотности производной некоторого сигнала с частотой обусловлено возрастанием скорости изменения сигнала при его дифференцировании.

Отметим, что рассмотренная функция x(t ) представляет собой перво-

образную (неопределенный интеграл) по отношению к функции x1 (t ), по-

где множитель 1/ jω имеет смысл оператора интегрирования в частотной области.

2.7. Текущий спектр

Как было указано выше, спектральная плотность некоторой функции времени x(t ) определяется как

X& (ω)= ∞∫ x(t )exp(− jωt )dt.

−∞

Это выражение определяет спектральную плотность как функцию частоты,

поскольку зависимость от времени исчезает и спектр X& (ω) отображает

77

процесс x(t ) в целом. Данное определение является справедливым при на-

личии возможности интегрирования во времени в бесконечных пределах и, соответственно, при сходимости этого интеграла. В принципе это возмож-

но, если функция x(t ) известна на всем бесконечном интервале и интегри-

руема на нем.

Однако, если функция x(t ) представляет собой реальный физический процесс, а сведения об этом процессе могут быть получены на некотором реальном интервале наблюдения, который начинается в момент времени t = 0 и возрастает в соответствии с реальным текущим временем τ , то выражение для спектральной плотности принимает вид

Функция X&τ (ω), представляющая собой функцию как частоты так и про-

тяженности интервала наблюдения, называется текущим спектром. Напомним теперь, что изложение теории спектра радиосигналов было

начато с определения спектра периодических функций, удовлетворяющих условию x(t )= x(t + nT ). На протяжении достаточно длительного интер-

вала времени (т.е при числе периодов n →∞) эти функции подчиняются теореме о среднем значении периодической функции. Однако если при наблюдении процесса используется короткий интервал времени, меньший одного периода, то процесс не будет иметь периодического характера. Периодичность процесса проявится не сразу и его характерные черты сформируются в течение некоторого интервала времени. Развитие и формирование процесса с увеличением длительности интервала его существования будет отображаться в трансформировании формы его текущего спектра, зависящего как от частоты, так и от продолжительности интервала времени, на котором наблюдается этот процесс [7].

78

Рассмотрим рис. 2.12, на котором изображен процесс развития синусоидального сигнала. Величина интервала наблюдения изменяется дискретно с периодичностью τ = nT / 2 , где Т есть период синусоидального сигнала.

Рис. 2.12. Процесс развития синусоидального сигнала во времени

Отметим прежде всего, что спектр короткого импульса длительностью T / 2 будет практически равномерным. Однако, поскольку с течением времени будет происходить формирование синусоидального периодического сигнала с увеличением числа его периодов, то спектральная плотность этого процесса будет трансформироваться. При этом должны формироваться максимумы спектральной плотности как на основной частоте, так и на её гармониках. Эти максимумы будут становиться более острыми и будут сжиматься вдоль оси частоты, а в пределе при t → ∞ текущий

79

спектр синусоидального сигнала должен будет превратиться в одну спектральную линию на частоте сигнала Ω.

С целью подтверждения изложенных физических соображений проведем анализ текущего спектра процесса sin Ωt как функции длительности интервала наблюдения. Подставляя эту функцию в выражение (2.48), получим

=Ω 1−exp(− jωτ ) ω (e jΩτ −e− jΩτ )+ 1 (e jΩτ + e− jΩτ ) =

Ω2 −ω2 2Ω 2

=Ω 1 −exp(− jωτ ) cosΩτ + j ω sin Ωτ =

Ω2 −ω2 Ω

Рассмотрим выражение (2.49) в дискретные моменты времени

τ =τn = nT / 2 = nπ / Ω,

как это изображено на рис. 2.12. Подставляя значения τ в соотношение

(2.49), получим текущий комплексный спектр X&τ (ω) в виде

80

для четных значений n, перепишем выражение (2.51) для амплитудного спектра в окончательном виде

При этом функция sin (...) используется при четных значениях n, а функ-

ция cos(...) – для нечетных значений n. Как было указано выше, величина n есть число полупериодов синусоиды с момента включения. Неопределенность в точке ω = Ω легко раскрывается: X&τ ω=Ω = nπ / 2 = nT / 4, т.е. спектральная плотность на данной частоте нарастает линейно.

Текущий спектр синусоиды, изменяющийся в процессе её формирования и рассчитанный с использованием выражения (2.51а), представлен на

81