Автокорреляционная функция и отвечающий ей энергетический спектр изображены на рис. 4.16а,б.
Рис. 4.16а. Автокорреляционная функция |
Рис. 4.16.б. Энергетический |
узкополосного процесса |
спектр узкополосного процесса |
Если предположить, что частота гармонической составляющей автокорреляционной функции (4.98) равна нулю ω = 0 , то экспоненциальнокосинусная автокорреляционная функция (4.98) превратиться в двустороннюю экспоненциальную функцию:
а её энергетический спектр будет сосредоточен в области низких частот в окрестности нулевой частоты и определяется выражением
G2 (ω)= α22α+Gω2 2 .
Графическое изображение двусторонней экспоненциальной АКФ и отвечающему ей энергетического спектра приведено на рис. 4.17.
Рис 4.17. АКФ и энергетический спектр низкочастотного процесса
4.9 Автокорреляционная функция и энергетический спектр детерминированного процесса.
Автокорреляционная функция случайного процесса, найденная как среднее значение
R(τ ) = x(t )x(t −τ ) ,
представляет собой, по определению свертку процесса x (t ) с самим собой:
R(τ )= ∞∫ x(t )x(t −τ )dt. |
(4.102) |
−∞ |
|
Однако тот факт, что понятие автокорреляционной функции было введено при анализе случайных процессов, не означает, что это понятие не следует использовать для анализа детерминированных процессов. Как было показано в предыдущем подразделе, автокорреляционная функция и энергетический спектр уже не являются случайными функциями и связаны парой преобразований Фурье. Понятие энергетического спектра как распределение энергии по спектральным составляющим было введено при спектральном анализе детерминированных процессов.
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих возможность использования корреляционного анализа детерминированных процессов. В одном из примеров, рассмотренных в главе 2, было показано, что спектральная плотность прямоугольного импульса, имеющего единичную амплитуду и длительность ∆t , имеет вид
|
|
∆t sin ω |
∆t |
|
S1 |
(ω)= |
|
|
2 |
(4.103) |
ω |
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Этот импульс и соответствующая ему спектральная плотность изображены на рис.4.18а.
193
Рис.4.18а. Прямоугольный импульс и его спектральная плотность
Нетрудно также определить спектральную плотность треугольного импульса, имеющего единичную амплитуду и длительность 2∆t .
Для определения спектральной плотности треугольного импульса запишем математическую модель этого сигнала как
|
|
|
x2 (t )= 1+t / ∆t, − ∆t < t < 0 |
|
(4.103а) |
|
|
|
|
1−t / ∆t, 0 < t < ∆t |
|
|
|
или в более компактном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
x2 (t ) =1− |
|
t |
|
/ ∆t . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.104) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 (ω)= ∆∫t |
x2 (t )exp[− jωt]dt = ∆∫t (1− |
|
t |
|
|
/ ∆t )exp[− jωt]dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∆t |
|
|
|
|
|
|
|
−∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫0 (1+t / ∆t )exp[− jωt]dt + ∆∫t (1−t / ∆t )exp[− jωt]dt = |
|
|
−∆t |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∆∫t |
exp[− jωt]dt + |
1 |
∫0 |
t exp[− jωt]dt − |
1 |
∆∫t t exp[− jωt]dt = |
|
∆t |
∆t |
|
−∆t |
|
|
−∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= I1 + I2 − I3. |
|
|
|
|
|
|
|
(4.105) |
|
Вычисление интегралов I1, I2 , I3. |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
2sinω∆t |
|
|
|
|
I1 = ∫ exp[− jωt]dt = |
; |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
−∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194
|
|
1 |
0 |
1 |
|
t |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
I2 |
= |
|
∫ t exp[− jωt]dt = |
|
− |
|
exp(− jωt )|−∆t |
+ |
|
∫ |
exp(− jωt) |
= |
∆t |
|
jω |
jω |
|
|
−∆t |
∆t |
|
|
−∆t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
exp( jω∆t )+ |
− |
exp( jω∆t ) |
; |
|
|
|
|
|
jω |
2 |
2 |
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
I3 |
= |
− |
|
exp(− jωt ) |
− |
+ |
|
|
exp(− jωt ) . |
∆t |
|
jω |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
Подставляя результаты интегрирования в выражение (4.105), получим: |
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
) |
|
∆t +ω |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
ω |
|
= |
2 |
1 |
−cosω∆t |
|
. |
|
(4.105) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу удвоения sin2 α2 = 0,5(1−cosα), последнее соотно-
шение можно преобразовать к виду
S |
|
(ω)= ∆t sin2 (ω∆t / 2) . |
(4.106) |
|
2 |
(ω∆t / 2)2 |
|
Графическое изображение этого импульса и отвечающей ему спектральной плотности приведено на рис.4.18б
Рис. 4.18б. Треугольный импульс и его спектральная плотность
Сравнивая выражения (4.103) и (4.106), нетрудно видеть, что выражение для спектральной плотности треугольной функции (4.104) представляет собой квадрат функции, описывающей спектральную плотность прямоугольного импульса длительностью ∆t .
Однако, квадрат спектральной плотности есть не что иное, как энергетический спектр. Тогда, учитывая, что теорема Винера-Хинчина связывает энергетический спектр некоторого процесса преобразованием Фурье с автокорреляционной функцией этого процесса, из выражения (4.105), часть которого переписана здесь как
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 (ω)= ∆∫t |
(1− |
|
t |
|
/ ∆t )exp(− jωt )dt, |
|
|
|
|
−∆t |
) |
|
( |
|
t |
|
/ ∆t |
|
нетрудно видеть, что функция 1 |
− |
|
|
есть не что иное, как автокорре- |
ляционная функция прямоугольного импульса длительностью ∆t . Данный факт можно пояснить с использованием интеграла свертки (4.102) и графического построения, приведенного на рис.4.19а,б,в.
Интеграл свертки (4.102) может быть вычислен с использованием графического построения, поскольку этот интеграл представляет собой относительную площадь перекрытия сдвинутых импульсов, величина которой линейно нарастает от нуля (при сдвиге τ = −∆t ) до 1 (сдвиг τ = 0 ), а затем уменьшается до нуля при сдвиге τ = ∆t .
Из рис.4.19 следует, что свертка (4.102) отлична от нуля лишь в пре-
делах t (−∆t,∆t ), т.е. когда имеет место наложения сигналов. Этот интер-
вал определяется величиной t − t . Таким образом, автокорреляционная функция прямоугольного импульса с единичной амплитудой имеет вид
R(τ )=τn (1− τ /τи ), (τи = ∆t ).
Таким образом, нормированная автокорреляционная функция прямоугольного импульса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным удвоенной длительности импульса (рис.4.20)
x(t)
Рис. 4.19а (τ = −∆t, K (τ )= 0 ) x(t)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
−0,5∆t |
|
0 0,5 |
∆ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.19б |
|
|
τ |
|
< ∆t |
, |
K (τ )=τ (1− |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/T ) |
x(t)
−0,5∆t |
|
|
|
t |
|
|
|
0 |
0,5 |
∆ |
t ∆t |
|
|
Рис. 4.19в (τ = ∆t, K (τ ) |
= 0 ) |
Рис. 4.19. Свертка двух идентичных прямоугольных импульсов
K (τ ) x(t)
K (τ )
−∆t −∆t / 2 |
0 ∆t / 2 |
∆t |
τ |
|
Рис. 4.20. АКФ прямоугольного импульса
197
Аналогично могут быть найдены автокорреляционные функции детерминированных сигналов любой формулы. Так, в частности, для гармони-
ческих колебаний Asinω0t и Acosω0t можно получить: |
|
|
|
|
|
|
RS (τ )= A2 |
∞∫sinω0t sinω0 (t −τ )dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A2 |
|
∞ cosω τ −cos(2ω t −τ ) dt |
= |
A2 |
cosω τ, |
(4.107а) |
|
|
|
|
2 |
−∞∫ |
|
0 |
0 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC (τ )= A2 |
∞∫cosω0t cosω0 (t −τ )dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A2 |
∞ cosω τ −cos(2ω t |
−τ ) dt = |
|
A2 |
cosω τ, |
(4.107б) |
|
|
|
|
|
2 −∞∫ |
|
|
0 |
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (4.107) следует, что автокорреляционные функции синусоидального и косинусоидального колебаний идентичны, что не вызывает удивления, поскольку было уже указано, что автокорреляционная функция не отображает фазового сдвига, а функции sinω0t и cosω0t отличаются только фазовым сдвигом ϕ =π / 2 .
5. ФУНКЦИИ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ, ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ И ТЕОРЕМЫ ОТСЧЕТОВ
В пятой главе рассмотрены свойства класса функций, включающего в себя большинство сигналов, используемых в радиотехнике. Это так называемые функции с финитным спектром, т.е. функции, имеющие спектральную плотность, которая не равна нулю только на конечном частотном интервале. Рассмотрены также функции, имеющие конечную (финитную) протяженность во времени и, соответственно, бесконечно протяженный спектр. Показана возможность использования новых систем ортогональных функций для разложения радиосигналов и введены теоремы отсчетов как во временной, так и в частотной области. Рассмотрены свойства узкополосных сигналов и связанные с ними полезные математические преобразования.
5.1 Понятие финитной функции
Когда говорят о финитных функциях, то речь идет о классе функций, преобразования Фурье которых сосредоточены на конечном интервале. Функции тождественно равные нулю вне некоторого конечного интервала
[a,b] называются финитными на этом интервале [23, 24]. В силу симмет-
рии преобразований Фурье в одних случаях целесообразно при построении математической модели сигнала считать финитным спектр функции, а в других – считать функцию финитной на заданном интервале времени. Тогда, в случае финитного (или ограниченного) спектра, отвечающие этому спектру функции должны иметь бесконечную протяженность. Если полагать исходную функцию финитной (ограниченной) во времени, то бесконечную протяженность будет иметь спектр этой функции. Исследователи указывают, что эти два класса функций, рассматриваемые как исходные,
различны по своим свойствам и результаты, полученные для одного класса, могут быть неприменимы для другого.
Здесь следует отметить, что, на первый взгляд, сигналы с ограниченным (финитным) спектром более естественны для задач радиотехники, т.к. подавляющее большинство используемых в настоящее время радиоэлектронных устройств обладает конечной полосой пропускания радиочастот. Однако нельзя не принять во внимание те факты, что, во-первых, в значительном количестве случаев радиосигналы заданы на финитном отрезке времени, а, во-вторых, все больше и больше расширяется область применения сверхширокополосных (СШП) сигналов. Поэтому в настоящее время невозможно (даже в учебном пособии) отдать предпочтение только одному виду финитных сигналов: либо сигналам с ограниченным спектром, либо сигналам, обладающим ограниченной протяженностью во времени. В связи с этим, в материалах данной главы рассматриваются оба класса сигналов.
5.2. Простейшие сигналы с финитным (ограниченным) спектром
Как было сказано выше, к классу сигналов с ограниченным спектром относятся сигналы, спектральная плотность которых существует только на ограниченном отрезке δω оси частот. Вне этого отрезка спектральная плотность сигнала равна нулю (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Спектральная плотность, заданная на ограниченном интервале
Функция времени x(t ), отвечающая заданному ограниченному спектру,
может быть найдена с использованием обратного преобразования Фурье
|
|
1 |
ω |
|
|
|
x(t )= |
∫2 |
X (ω)exp[jωt]dω, , |
(5.1) |
|
2π |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
а её вид будет определяться как формой спектральной плотности X (ω),
так и местоположением частотного интервала ∆ω на оси частот. Рассмотрим примеры простейших функций с ограниченным количест-
вом спектров, которые, несмотря на свою простую природу, имеют большое значение в теории сигналов.
Пример 1. Функция отсчетов (идеальный низкочастотный сигнал).
Предположим, что сигнал x(t ) обладает вещественной спектральной плотностью, величина которой постоянна и равна x0 в пределах отрезка оси частот, ограниченного значениями ±ωВ . Здесь ωВ означает верхнюю частоту функции спектральной плотности. Вне отрезка ±ωВ спектральная плотность равна нулю (рис.5.2)
0,ω < −ωВ,
x(ω)= x0 ,−ωВ ≤ω ≤ωВ, (5.2)
0,ω >ωВ
X (ω)
x0
−ωВ 0 ωВ ω
Рис. 5.2. Равномерная спектральная плотность на ограниченном интервале
Функция времени x(t), отвечающая данной спектральной плотности, имеет вид
