1490

а функция времени на выходе фильтра может быть найдена с использованием разложения Хевисайда в виде

Полюсы функции (3.57) расположены в точках sP1 = −1/τ0 и sP2 = −α , а со-

ответствующие вычеты имеют вид

132

Сравнивая выражения (3.59) и (3.60) видим, что результаты анализа, проведенного двумя различными способами, совпадают.

133

устойчивость, которую проявляют средние значения случайных результатов. Устойчивость средних результатов есть статиcтическая закономерность, свойственная случайным событиям. Попытаемся дать количественную оценку свойству статистической устойчивости.

Рассмотрим некоторое случайное событие A , связанное с определенным комплексом условий (например – выпадение аверса (реверса) монеты при бросании). Предположим, что проведена серия из конечного числа n экспериментов, в которой интересующее нас событие A появилось m раз. Отношение числа опытов m , в которых интересующее нас событие A появилось, к общему числу опытов n называется частотой события или статистической вероятностью:

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может изменяться от одной серии опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер и проявляет тенденцию к стабилизации по отношению к некоторой постоянной величине. Так, при многократном бросании монеты частоты появления аверса и реверса монеты будут лишь незначительно отличаться от 0,5. Это свойство «устойчивости частот», многократно проведенное и подтвержденное опытом всей практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическая формулировка закономерности устойчивости частот была впервые дана Бернулли и представляет собой простейшую форму закона больших чисел.

Поскольку Бернулли доказал, что при неограниченном числе однородных опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте, то, при большом числе опытов, выражение (4.1) можно записать в виде

135

где P(A) есть математическая вероятность события, определяемая как от-

ношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев. Эта веро-

ятность всегда удовлетворяет условию 0 ≤ P(A)≤1 в силу того, что m ≤ n

при любых обстоятельствах. Вероятность P(A)= 0 соответствует невоз-

можному событию, а P(A)=1 – достоверному событию. Эти величины за-

нимают крайние положения на шкале вероятностей.

Несколько событий образуют так называемую полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться одно из них. Примеры полной группы событий:

•Выпадение аверса или выпадение реверса при бросании монеты;

•Попадание или промах при выстреле.

Несколько событий называются несовместными, если никакие два из

Существуют группы событий, обладающих обоими свойствами одновременно. В этом случае имеется так называемая полная группа несовместных событий.

4.1.2. Основные теоремы теории вероятности. Условная вероятность

Непосредственное определение вероятности по частоте события не всегда удобно и не всегда возможно. Поэтому для определения вероятностей событий применяются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определить вероятности других событий, с ни-

136

ми связанных. Вся теория вероятности в основном и представляет собой систему таких косвенных методов.

Определим прежде всего понятие суммы и произведения событий. Суммой двух событий A и B называется событие С, состоящее в выпол-

щее в совместном выполнении как события A , так и события B . Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятно-

Теорема сложения в виде (4.3) справедлива только для несовместных событий. В случае совместности события A и B вероятность суммы этих

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, необходимо ввести понятие независимых и зависимых событий.

Событие A называется независимым от события B , если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Если же вероятность события A будет изменятся в зависимости от того, произошло событие B или нет, событие A будет зависимым от события B . Вероятность события A , вычисленная при условии, что имело место другое событие B , называется условной вероятностью события A и обозначается

P(A/ B). Таким образом, условие независимости события A от события B

137

можно записать в виде: P(A/ B)= P(A). Теперь сформулируем теорему умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB) = P(A)P(B / A) (4.5)

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий является первым или вторым, и теорему умножения можно записать как

P(AB) = P(B)P(A/ B).

Нетрудно видеть, что для независимых случайных событий теорема ум-

ножения принимает вид: P(AB) = P(A)P(B).

4.1.3. Случайные величины и законы распределения

Выше были рассмотрены случайные события, которые имели место в результате некоторого эксперимента. Можно сказать, что случайные события характеризуют результат эксперимента качественно. На практике более полезным является представление результата эксперимента количественно в виде некоторой действительной величины X , которая называется случайной величиной. Точное значение случайной величины предсказать невозможно, но можно установить статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Понятие случайной величины является более общим, чем понятие случайного события.

Для того, чтобы иметь полное статистическое описание результатов эксперимента, необходимо задать закон распределения вероятностей случайной величины. Для дискретных случайных величин этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Другими словами, закон распределения

138

указывает, какой вероятностью обладает каждая случайная величина. (Напомним, что для полной группы несовместных событий суммарная вероятность равна единице).

Если случайная величина непрерывно заполняет интервал, то для некоторой области значений этой величины закон распределения ставит в соответствие вероятность того, что величина будет находиться в некоторой области интервала возможных значений.

Аналитическим выражением законов распределения являются функции распределения, которые могут быть функциями целочисленного или непрерывного аргумента. Рассмотрим закон распределения, справедливый как для непрерывных так и для дискретных случайных величин. Предпо-

ложим, что случайная величина X принадлежит интервалу (−∞,∞). За-

фиксируем некоторый уровень x , который делит этот интервал на две час-

ти: X ≤ x и X > x .

Этот закон называется также интегральной функцией распределения вероятностей (ИФР). ИФР является самой универсальной характеристикой случайной величины (СВ), которая существует как для дискретных так и для непрерывных случайных величин и полностью характеризует эти величины с вероятностной точки зрения. Сформулируем некоторые общие свойства ИФР:

1. Функция распределения F (x) есть неубывающая функция своего ар-

гумента, т.е. при x2 > x1, F (x2 ) > F (x1 );

2.F (−∞) = 0 ;

3.F (+∞)=1.

139

ИФР дискретной случайной величины изображена на рис. 4.1а,б. Видно, что ИФР дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям СВ и равны вероятностям этих величин. Сумма всех скач-

ков функции F (x) равна 1. По мере увеличения числа возможных значе-

ний случайной величины число скачков становится больше, а их величина

– меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 4.1,б). Если случайная величина непрерывна, то ее функция распределения также непрерывна (рис.4.1,в).

Рис.4.1. Интегральные функции распределения дискретных случайных величин

Здесь следует обратить внимание на тот факт, что при уменьшении приращения значения случайной величины от скачка к скачку будет умень-

прерывной случайной величины равна нулю. Это обстоятельство будет внимательно рассмотрено ниже.

Выразим теперь вероятность попадания СВ в некоторый интервал a , b (рис. 4.1в) через ее функцию распределения. Интересующее нас событие

140

a < X < b есть сумма трех событий: Событие A : X < b ; Событие B : X < a ; Событие С: a < X < b .

Рис. 4.1в. К определению вероятности попадания непрерывной случайной величины в некоторый интервал

Учитывая, что A = B +C , из теоремы сложения имеем

P(X < b)= P(X < a)+ P(a < X < b),

или, учитывая выражение (4.6)

P(B) = F (a)+ P(a < X < b).

Из последнего выражения следует

P(a < X < b) = F (b)− F (a),

т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.

Рассмотрим теперь вероятность того, что случайная величина примет отдельно взятое значение a . C этой целью будем неограниченно умень-

шать интервал (a,b) полагая чтоb → a . В пределе вместо вероятности по-

падания на интервал будет получена вероятность того, что СВ примет значение a

Значение этого предела зависит от того, непрерывна функция F (x) в

точке x = a или имеет разрыв. Если функция F (x) имеет разрыв в точке

141