1490

Пусть ξ (t ) представляет собой периодическую последовательность

прямоугольных импульсов, имеющих амплитуду А и длительность, равную половине периода данной последовательности (последовательность типа «меандр»). Данная последовательность изображена на рис. 1.11.

t

T / 2 T / 2

Рис. 1.11. Периодическая последовательность типа «меандр»

Средняя мощность этой последовательности определяется как

Таким образом, действующее значение последовательности типа «меандр» также составляет величину 0,707 от максимальной амплитуды.

1.6.3. Теорема Парсеваля

Рассмотрим теперь теорему Парсеваля для периодических функций, позволяющую связать среднюю мощность функции, найденную интегрированием во временной области, со средней мощностью, найденной суммированием мощностей гармонических составляющих ряда Фурье этой функции.

Запишем среднюю мощность произвольной периодической функции

ξ (t ) в виде

Заменим одну из функций ξ (t ) в выражении (1.50) её представлением в

виде комплексного ряда Фурье

42

Изменяя порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, перепишем последнее выражение в виде

Для того, чтобы выражение в квадратных скобках представляло собой коэффициент комплексного ряда Фурье, используем следующий прием

где символ ( ) означает комплексное сопряжение. Тогда

Зависимость квадратов модулей коэффициентов комплексного ряда Фурье от частоты представляет собой спектр мощности периодической последовательности. Таким образом, выражение (1.51) свидетельствует, что средняя мощность функции ξ (t ), найденная интегрированием её квадрата во времени, равна сумме мощностей гармонических составляющих этой функции. Данный факт составляет содержание так называемой теоремы Парсеваля, которая демонстрирует закон сохранения энергии при переходе от представления периодической функции во времени к её представлению в частотной области.

43

2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Разложение в ряд Фурье представляет собой мощный аналитический инструмент исследования периодических функций. Однако в природе не все процессы являются периодическими, и в связи с этим возникает необходимость обобщения аппарата спектрального анализа на непериодические функции. Результатом обобщения является интеграл Фурье и пара преобразований Фурье.

2.1.Вещественная форма интеграла Фурье

Впервой главе было показано, что если на оси времени задана некото-

рая периодическая функция ξ (t ), то на интервале [−T / 2, T / 2] эту можно

разложить в ряд Фурье. Обобщение ряда Фурье для случая непериодических функций можно получить на основе исследования структуры этого ряда для периодической функции в случае безграничного увеличения ее периода (в пределе до бесконечности). Данная ситуация изображена на рис. 2.1а.

Рис. 2.1а. Процесс увеличения периода периодической функции

44

Удерживая один из элементов периодической функции x (t) в начале координат и предполагая, что период Т безгранично увеличивается, то в пределе при T → ∞ можно получить представление одиночного (непериодического) импульса, изображенное на рис. 2.1б .

1 , 0

0 , 8

0 , 6

0 , 4

0 , 2

Рис. 2.1б. Пример непериодической функции

Рассмотрим данную ситуацию аналитически [3, 8]. Для этого прежде всего представим функцию x(t ) разложением

(1.19), (1.21) и (1.22), которые перепишем здесь для удобства:

Рассмотрим, как будет трансформироваться разложение (2.1),если устремить период T к бесконечности. С этой целью перепишем выражение

(2.1) в виде

x(t) = a0 + 1 ∑∞ Ω(ak cosωt +bk sinωt) =

Ωω=Ω

45

Здесь введено обозначениеω = kΩ, а при суммировании учитывается, что величина Ω представляет собой разность между двумя последователь-

ными значениями частоты ωk +1 = (k +1)Ω и ωk = kΩ:

ωk +1 −ωk =(k +1)Ω− kΩ = ∆ω = Ω.

Следовательно, величину Ω можно рассматривать как приращение ∆ω

ω=Ω

( 0, ∞). Будем полагать, что интеграл от функции f (τ ), взятый на беско-

нечном интервале, сходится. Тогда

интеграла Фурье [3, 9].

46

Для того, чтобы преобразовать выражение (2.4), раскроем функцию

Из выражения (2.5) следует, что функцию f (t ) можно рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний, обладающих амплитудами

2.2. Комплексная форма интеграла Фурье

Применим метод предельного перехода T →∞ к комплексной форме ряда Фурье

47

где, как и ранее, Ω = 2π /T .

Используя обозначения nΩ =ω и ∆ω = Ω, введенные в п. 2.1. перепишем комплексный ряд Фурье как

Пусть длина интервала Т бесконечно возрастает. Тогда в пределе ∆ω → dω , сумма превращается в интеграл и выражение (2.6) принимает вид

Выражение (2.7) представляет собой комплексную форму интеграла Фурье.

Как вещественная, так и комплексная форма представления действи-

тельной функции x(t ) в виде интеграла Фурье включают в себя две опера-

ции, которые могут быть реализованы раздельно: первая операция описывается внутренним интегралом в (2.7)

и обеспечивает разложения функции x(t ) на бесконечное число гармони-

ческих колебаний, характеризуемых распределением комплексной ампли-

туды G& (ω) по частоте.

Выражение (2.8) называется прямым преобразованием Фурье, а функ-

ция G& (ω), представляющая собой результат этого преобразования, по фи-

зическому смыслу соответствует распределению коэффициентов C&k ком-

48

плексного ряда Фурье по частотам, но вместо дискретного индекса k, пробегающего целочисленные значения, имеет место непрерывно изменяю-

щаяся переменная ω. Это и объясняет, что для построения функции α(x)

необходимо сложение колебаний с бесконечным количеством частот.

Всвязи с изложенным вторая операция описывает синтез функции x(t)

сиспользованием функции G& (ω)

Эта операция называется обратным преобразованием Фурье. Пара соотношений (2.8), (2.9) называется парой преобразований Фурье.

Физический смысл функции G& (ω) подлежит отдельному рассмотре-

нию. Эту функцию в отличие от набора спектральных коэффициентов C&k

уже нельзя понимать как распределение амплитуды и фазы колебаний с заданной частотой. Действительно, отдельное колебание в непрерывном спектре не существует и не обладает конечной амплитудой.

Для выяснения физического смысла функции G& (ω) обратимся к так на-

зываемым функциям распределения, которые хорошо известны в математике и широко используются, например, в механике и в теории вероятностей.

Воспользуемся вначале примером из механики и представим себе, что вдоль оси ω распределена некоторая масса с плотностью G& (ω). Очевидно,

что каждой отдельной точке оси ω не может соответствовать конечная масса. Элементу dω оси ω можно сопоставить некоторую бесконечно малую массу G& (ω)dω . Конечную массу можно сопоставить только ко-

нечному интервалу оси ω. Таким образом, массу, представляющую собой функцию от ω, можно определить только для некоторого конечного ин-

49

тервала оси ω. Введем понятие массы интервала (−∞,ω), как функцию от

ω, т.е. положим

ω∫G& (η)dη = F (ω).

−∞

В математике функция F (ω) называется функцией распределения. В

частности, в теории вероятностей [8] функция распределения F (ω) опре-

деляет вероятность того, что некоторая величина, распределенная по неко-

торому закону на оси (−∞,∞), будет заключена на интервале (−∞,ω).

Из выражения для функции распределения следует, что

Элемент функции G& (ω), отнесенный к интервалу dω, называется элемен-

том спектральной плотности (в теории вероятности такой элемент называется элементом вероятности).

Таким образом, функция распределения, понимаемая как масса (или вероятность), заключенная в определенном интервале, имеет наглядный смысл. Однако плотность (спектральная плотность, плотность массы, плотность вероятности), необходимо рассматривать как предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

В связи с изложенным функцию G& (ω), представляющую собой произ-

водную функции спектрального распределения по частоте, будем назы-

50

Поскольку функция sinω(t −τ ) есть нечетная функция, то мнимая

часть полученного выражения равна нулю, что очевидно, поскольку x(t ) –

вещественная функция. Так как cosω(t −τ ) есть четная функция, то мож-

но удвоить амплитуды положительных частот и задать область интегри-

рования по частоте интервалом [0, ∞]. Таким образом

x(t )= 1 ∞∫dω ∞∫ x(τ )cosω(t −τ )dτ ,

π 0 −∞

что соответствует выражению (2.4), полученному в подразделе 2.1.

2.3.Примеры спектральных разложений

2.3.1Спектральное разложение прямоугольного импульса

Определим спектральное разложение для одного из простейших сигналов – прямоугольного импульса длительностью τ , имеющего единичную амплитуду (рис. 2.2).

x(t )

Рис. 2.2. Одиночный прямоугольный импульс

Выполняя прямое преобразование Фурье, получим

51