1490

Поскольку (5.62б) представляет собой действительную часть одного члена ряда (5.61), то действительную часть аналитического сигнала (5.61) можно записать как

232

n=−∞

представляет собой высокочастотную функцию отсчетов, огибающая которой есть смещенная функция отсчетов, а несущая частота определена средней частотой интервала ∆ω , т.е. ωS = 0,5(ω1 +ω2 ). Каждая из этих высокочастотных функций отсчета относится к соответствующей точке отсчета n на оси времени и характеризуется амплитудой

An = x12 (2πn / ∆ω)+ x22 (2πn / ∆ω)

и фазой

ηn = arctg x2 ((2πn / ∆ω)). x1 2πn / ∆ω

Амплитуда и фаза каждой из высокочастотных функций отсчета опреде-

ляют значения квадратур x1n и x2 n в соответствующей точке отсчета, со-

вокупность которых, в свою очередь, определяет физическую функцию x1 (t ). Таким образом, выражение (5.63) представляет собой интерполяци-

онную формулу для полосового сигнала.

Из этого выражения следует, что значения квадратур x1 (t ) и x2 (t ) во всех точках отсчета

233

полностью определяют функцию x1 (t ) для любых значений t . Нетрудно видеть, что точки отсчета, определяемые выражением (5.64), отстоят друг от друга вдвое дальше, чем это следует из условия ∆t =1/ 2 fB , где величина fB определяет ширину полосы частот низкочастотного аналитического сигнала, спектр которого сосредоточен в полосе частот 0 ÷ fB .

Однако здесь в точках отсчета должны быть определены две функции –

5.9. Случайные процессы с финитным спектром. Теорема отсчетов для случайных процессов

Прежде всего рассмотрим в качестве примера интерполяционную формулу (т.е. теорему отсчетов для автокорреляционной функции стационар-

ного случайного процесса x(t ), спектр которого ограничен интервалом

( −ωB и ωB ) [25, 26]. В соответствии с теоремой Винера – Хинчина авто-

корреляционная функция B(τ )этого процесса связана с его непрерывным

процесса x(t )) тождественно равен нулю вне интервала (−ωB ,ωB ). Тогда для АКФ B(τ ) можно записать теорему отсчетов

234

представляет собой обратное преобразование Фурье от равномерной спек-

тральной плотности, определенной на интервале (−ωB , ωB ) и обладающей фазовым сдвигом, линейно зависящем от частоты

235

Соотношение (5.71а) связывает энергетический спектр G (ω), который ра-

вен нулю вне полосы (−ωB , ωB ), с отсчетными значениями автокорреля-

ционной функции B(τ ), взятыми в моменты времени τ = n / 2 fB . Учитывая чётность автокорреляционной функции, соотношение (5.71а) можно переписать как

Рассмотрим теперь вопрос непосредственного использования теоремы отсчетов при интерполяции случайных процессов [26].

Пусть x(t ) – непрерывный (в среднеквадратичном) стационарный слу-

B(τ ), покажем, что для этого процесса выполняется (в среднеквадратич-

Выражение (5.72) обобщает теорему отсчетов на случайные процессы и означает, что стационарный случайный процесс, обладающий ограниченным энергетическим спектром, полностью определяется некоторым множеством случайных величин

и представляет собой сумму функций отсчета

имеющих случайные амплитуды.

236

Чтобы установить справедливость равенства (5.72), необходимо доказать равенство автокорреляционных функций случайных процессов, отвечающих левой и правой частям равенства (5.72). Найдем прежде всего автокорреляционную функцию правой части равенства в виде

В силу стационарности процесса x(t )

где r = n − k . Двойная сумма в выражении (5.73) может быть преобразована к виду

237

Сравнивания выражения (5.74) и (5.66), нетрудно видеть, что сумма в правой части выражения (5.74) есть не что иное, как автокорреляционная функция BX (τ ), которая соответствует процессу x(t ), т. е. левой части выражения (5.72)

Таким образом автокорреляционные функции левой и правой частей (5.72) идентичны, что и свидетельствует о справедливости этого равенства.

238

6. СПЕКТРЫ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ. СЛОЖНЫЕ СИГНАЛЫ И ЭФФЕКТЫ СЖАТИЯ.

Сигналы, поступающие от датчиков информации (микрофон, телекамера, датчики систем телеметрии и.т.п.), являются относительно низкочастотными, что не позволяет осуществить их эффективную передачу по радиоканалу. Для передачи сигналов необходимо перенести спектр этих сигналов из области низких частот в область высоких частот. Операция переноса спектра сигнала, содержащего некоторую информацию, из области низких частот в область верхних частот называется модуляцией.

Радиосигнал, несущий информацию, в общем виде можно записать как

где ψ (t ) – обобщенная (полная) фаза.

Как амплитуда A , так и обобщенная фаза ψ (t ) могут изменяться в со-

ответствии с передаваемым сообщением [1, 7, 11]. В случае, если амплиту-

да А постоянна, а полная фаза ψ (t ) нарастает по линейному закону с по-

стоянной скоростью, то выражение (6.1) представляет собой простое гармоническое колебание, иначе называемое “несущим” колебанием. Постоянная частота ω0 этого колебания называется “несущей” частотой.

Если амплитуда А или обобщенная фаза ψ (t ) подвергаются изменению в соответствии с передаваемым сообщением, то радиосигнал x(t ) стано-

вится модулированным. В зависимости от того, какой из двух параметров А или ψ подвергается изменению, различают два основных вида модуля-

ции – амплитудную и угловую. Поскольку полная фаза определяется как ψ =ω0t +ϕ , где ω0 – частота колебания, а ϕ – его начальная фаза, то угло-

вая модуляция, в свою очередь, разделяется на два подвида: частотная мо-

239

дуляция и фазовая модуляция, которые тесно связаны. Рассмотрим отдельные виды и подвиды модуляции.

6.1. Амплитудная модуляция радиосигналов

Амплитудная модуляция представляет собой наиболее простой способ переноса информации высокочастотными колебаниями. В данном случае в соответствии с передаваемым сигналом изменяется только амплитуда несущего колебания, а параметры ω0 и ϕ неизменны. Тогда амплитудно –

В соответствии с выражением (6.2) АМ – сигнал представляет собой про-

изведение огибающей A(t ) и гармонического сигнала cos(ω0t +ϕ0 ). Связь между огибающей A(t ) и передаваемым сигналом S (t ) имеет вид

где A0 – амплитуда несущего колебания в отсутствии модуляции, m – ко-

эффициент модуляции (или глубина модуляции).

Определение понятия коэффициента модуляции может быть наглядно введено для случая модуляции чистым тоном (однотональной модуляции),

когда модулирующая функция S (t ) представляет собой гармоническое колебание

S (t )= S0 cos(Ωt +γ ),

где Ω– частота модулирующего сигнала, а γ – его начальная фаза.

Огибающая модулирующего сигнала в данном случае может быть записана в виде

240

где k – коэффициент пропорциональности, ∆A = kS0 – величина изменения огибающей (рис 6.1). Отношение M = ∆A/ A0 называется коэффициентом глубины модуляции или просто коэффициентом модуляции.

Рис. 6.1. Амплитудно – модулированный сигнал для случая модуляции чистым тоном

Таким образом, амплитудно – модулированное колебание для случая модуляции чистым тоном можно записать в виде

Необходимо отметить, что для неискаженной передачи информации, максимальное изменение огибающей не должно превышать абсолютной величины амплитуды несущего сигнала A0 , т.е. ∆A ≤ A0 . Это означает, что ко-

эффициент модуляции m не должен быть больше единицы. Спектральный анализ для случая амплитудной модуляции чистым то-

ном тривиален. Производя простейшие преобразования выражения (6.6) с использованием известного соотношения

cosα cos β = 0,5 cos(α + β )+ cos(α − β ) ,

получим

xAM (t )= A0 cos(ω0t +ϕ)+

241