1490

так как второе и третье слагаемые обращаются в нуль для независимых процессов. Из изложенного следует, что абсолютное значение автокорре-

ляционной функции для любого τ > 0 не может превышать её значение в точке τ > 0

Таким образом, типичная автокорреляционная функция стремится к нулю с ростом величины τ (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Монотонная АКФ Рис. 4.12. Осциллирующая АКФ

Стремление к нулю не обязательно должно быть монотонным, т.к. автокорреляционная функция может иметь осциллирующий характер (рис. 4.12). Для стационарного случайного процесса всегда существует такая ве-

вающихся во времени – временем корреляции. Для автокорреляционных функций экспоненциального типа часто используется определение интер-

162

вала корреляции как величины τ0 , для которой автокорреляционная функ-

ция принимает значение R = e−1 , где e = 2,718 есть основание натурально-

го логарифма. Интервал корреляции может быть также определён как половина ширины основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого определяется интегралом от модуля нормированной автокорреляционной функции (см. рис. 4.13):

τ0 = 1 ∞∫ R(τ )dτ. (4.46)

2 −∞

Рис. 4.13. К определению величины интервала корреляции

4.5. Эргодические случайные процессы.

При экспериментальном определении числовых характеристик случайных процессов необходимо производить усреднение с использованием множества реализаций x( K ) (t) исследуемого процесса x(t) (рис. 4.14). При этом искомые средние определяются усреднением по ансамблю значений, определённых в совпадающие моменты времени ti(1) , ti(2) , ..., ti( K ). для каж-

дой из реализации. Однако значительная часть стационарных случайных процессов обладает так называемым свойством эргодичности [20, 21], которое позволяет определить вероятные характеристики этих процессов с использованием всего лишь одной реализации. Случайный процесс называется

163

Итак, если случайный процесс эргодический, то любая его реализация отображает свойства всего множества реализаций, и поэтому результат усреднения во времени, выполненного над одной реализацией, совпадает с соответствующим средним значением, найденным усреднением по совокупности реализаций. При этом длительность используемой реализации должна во много раз превышать интервал корреляции.

4.6. Энергетический спектр стационарного случайного процесса. Теорема Винера-Хинчина

В двух первых главах данной книги были изложены методы анализа периодических и непериодических детерминированных функций с использованием рядов Фурье и преобразований Фурье. Желательно было бы обладать таким же эффективным математическим аппаратом для анализа случайных процессов. Однако непосредственные приложение классического гармонического анализа к случайным процессом невозможно, но можно обобщить методы гармонического анализа, усредняя результаты спек-

165

трального разложения отдельных реализаций [20, 21]. Запишем формально случайную комплексную спектральную функцию F&T( K ) (ω) , соответствую-

щую реализации действительного случайного процесса αT( K ) (x) , наблю-

даемой на достаточно большом интервале времени T

Если функция xT( K ) есть ток или напряжение при сопротивлении нагруз-

ки 1 Ом, то мощность на частоте ω , отнесенная к полосе ∆f =1/T и выде-

ленная за время существования одной реализации, может быть определена как

Случайные реализации F&T( K ) (ω)2 /T образуют ансамбль случайных

функций частоты, отвечающий ансамблю xT( K ) (t) случайных функций вре-

мени. Усредним левую и правую части выражения (4.51) по ансамблю:

автокорреляционную функцию K (t1, t2 ) , а также принимая во внимание,

что для стационарных процессов K (t1, t2 ) = K (t1 −t2 ), перепишем послед-

нее выражение следующим образом:

Введем в (4.52) замену переменных вида τ = t1 − t2 , t2 = t2 .При этом связь между старыми и новыми пределами интегрирования имеет вид:

166

−T 3

Рис. 4.15. Замена пределов интегрирования

При этом интегрирование по квадрату переходит в интегрирование по параллелограмму (рис. 4.15), а выражение (4.52) в новых пределах принимает вид:

167

Сумма двух первых интегралов равна нулю, а третий и четвертый можно

Функция G(ω) называется энергетическим спектром случайного про-

цесса. Энергетический спектр представляет собой усредненную картину распределения энергии случайного процесса по частотам гармонических составляющих процесса, но не учитывает их фаз. Энергетический спектр не является случайной функцией, поскольку определяется как прямое преобразование Фурье неслучайной автокорреляционной функции.

В дополнение к соотношению (4.54а) может быть записано и обратное преобразование Фурье.

Пара преобразований (4.54) представляет собой известную теорему Вине- ра-Хинчина для стационарных случайных процессов [20, 21].

Поскольку автокорреляционная функция является чётной функцией, то

168

также проведения параллелей между разделами математики, широко используемыми в радиотехнике, которые на первый взгляд не связаны между собой. Для анализа одного из таких интересных примеров необходимо расширить те краткие сведения из теории вероятностей, что были приведены выше.

4.7.1.Числовые характеристики функций случайных величин

Взадачах радиотехники, связанных с анализом случайных процессов, очень часто анализируемая случайная величина представляет собой функцию других случайных величин [19]. Так, например, гармонический про-

цесс со случайной фазой x(t) = cos[ωt +ϕ(t )] = x[ϕ(t ), t] есть функция слу-

чайного аргумента ϕ . Если случайной является не только фаза, но и часто-

та, то случайный процесс x(t) = cos[ωt +ϕ(t )] = x[ω(t ), ϕ(t ), t] является функцией двух случайных переменных, а если случайна еще и амплитуда,

то процесс x(t) = A(t)cos[ω(t )+ϕ(t )] = x[ A(t ), ω(t ), ϕ(t ), t] будет пред-

ставлять собой функцию трёх случайных переменных [20, 21, 22]. Для полного статистического описания процесса x(t) необходимо определить его закон распределения, связанный с законами распределения случайных аргументов (PA, Pω, Pϕ) .

Задача нахождения закона распределения функции нескольких случайных аргументов является достаточно сложной. Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет необходимости полного определения законов распределения функций случайных величин, а достаточно только указать их числовые характеристики; чаще всего – только математическое ожидание и дисперсию. В связи с этим возникает задача определения только числовых характеристик функций случайных величин [19, 20, 21, 22].

170

Рассмотрим прежде всего математическое ожидание (среднее значение) функции случайной величины. Напомним, что определение математического ожидания непрерывной случайной величины (не функции случайной величины!) было дано выражением (4.18а) на основе использования понятия начального момента (4.18), но сейчас будет рассмотрен несколько иной процесс определения математического ожидания случайной величины, который позволит без особых усилий найти среднее значение функции случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины Х связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим значением случайной величины при большом числе опытов.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, которую можно характеризовать рядом распределения

где Xi – значения дискретной случайной величины Х, а Pi = P( X = Xi )

есть отвечающие этим значениям вероятности.

Пусть производится N независимых опытов, в каждом из которых величина Х принимает некоторое (случайное) значение. Предположим, что значение X1 появилось m1 раз, значение X2 появилось m2 раз, а значение Xi

n

появилось mi раз. Естественно, что выполняется условие ∑mi = N .

i=1

Найдем теперь среднее арифметическое значение случайной величины Х

Отношение mi / N есть не что иное как частота (или статистическая вероят-

ность) события X = Xi

171