1490

Сравнивая выражение (2.10а) с выражениями (1.34) и (1.35), нетрудно видеть, что, в отличие от дискретного спектра (1.34), последовательность прямоугольных импульсов, расстояние между спектральными линиями которой равно 1/T , спектр одиночного импульса сплошной, а его форма представляет собой огибающую дискретного спектра (1.34) (см. рис 1.3). Спектр прямоугольного импульса изображен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Спектральное разложение прямоугольного импульса

Определим теперь полуширину главного лепестка спектральной плот-

ности (2.10а). Нетрудно видеть, что нули функции [sin(ωτ / 2)]/ (ωτ / 2) оп-

ределяются значениями sinωτ / 2 = 0 , имеющими место при выполнении условия ωτ / 2 = kπ (k =1, 2...). Тогда положение первого нуля спектраль-

ной функции, определяющее полуширину главного лепестка, можно найти из условия

2π f τ2 =π,

откуда следует, что значение частоты, соответствующее первому нулю, определяется величиной f =1/τ, обратно пропорциональной длительности импульса. Соотношение f τ =1 (или ∆f ∆τ =1) представляет собой уже упоминавшийся в главе 1 принцип неопределенности. В соответствии с

52

этим принципом протяженность сигнала по временной оси обратно пропорциональна протяженности спектра этого сигнала по оси частот.

Рассмотрим теперь функцию времени x(t) , которой соответствует спек-

тральная плотность X (ω) , равномерно распределенная на интервале

[−ωВ,ωВ] , где ωВ - частота среза спектра. Вне указанного интервала спек-

тральная функция X (ω) = 0 (рис. 2.4).

X (ω)

ω

−ωВ ωВ

Рис. 2.4. Равномерная спектральная плотность

Временная зависимость x(t) , отвечающая заданной спектральной плот-

ности X (ω) , может быть найдена с использованием обратного преобразо-

вания Фурье

где 0,5∆f есть половина ширины полосы частоты, ограниченной значе-

ниями −ωВ,ωВ . Умножив и разделив последнее выражение на величину

∆f , запишем результирующую форму функции x(t) :

Перепишем здесь для удобства выражение (2.10а)

ω =τ sin(2π f τ / 2) X ( )

2π f τ / 2

53

и сопоставим результаты (2.10а) и (2.10б). Сравнение этих выражений позволяет сформулировать принцип дуальности времени и частоты, заключающийся в следующем:

Если функция X (ω) является преобразованием Фурье функции x(t) , то функция x(−ω) есть преобразование Фурье функции X (t) .

Поскольку, в рассмотренных выше случаях, как функция времени, так и функция частоты являются четными и действительными функциями, то функция x(−ω) = x(ω) есть преобразование Фурье функции X (t) . Это есть так называемый случай четной симметрии.

2.3.2. Спектральное разложение экспоненциального импульса

Зададим функциюx(t )= exp(−αt ), α > 0, как это показано на рис. 2.5.

Здесь использовано обозначение α =1/τ , где τ – длительность экспоненциального импульса на уровне 1/ e ≈ 0,37 ( e – основание натурального ло-

гарифма).

Преобразование Фурье функции exp(−αt ) будет иметь вид

54

X& (ω)= ∞∫exp(−αt )exp(− jωt )dt = ∞∫exp[−(α + jω)]dt =

Поскольку спектральная плотность (спектральная функция) X& (ω) яв-

ляется комплексной, то для ее представления необходимо определить отдельно ее модуль (амплитудный спектр) и фазу (фазовый спектр). Для графического описания спектральной плотности необходимо построить отдельно графики амплитудного и фазового спектра функции, или графики действительной и мнимой частей комплексной спектральной функции.

Определим все эти функции. Выделим действительную и мнимую части спектральной плотности X& (ω).

Изобразим теперь эти четыре функции графически. На рис. 2.6а, б построены графики амплитудного и фазового спектров, а на рис. 2.7а, б графики действительной и мнимой частей спектральной плотности.

Из графика амплитудного спектра видно, что на частотах ω = ±α квадрат модуля спектральной функции равен половине значения квадрата мо-

дуля спектра на нулевой частоте: x(ω)2 = 0,5 x(ω)2 . Эта частота называ-

55

ется частотой половинной мощности. На частотах ω = ±α фазовый сдвиг составляет ±450 .

Рис. 2.6а. Действительная часть спектральной плотности

Рис. 2.6б. Мнимая часть спектральной плотности

Графики рис. 2.6, 2.7 иллюстрируют свойство симметрии, которое характерно для преобразований Фурье действительных функций времени x(t ). Данное свойство заключается в том, что функцииRe X& (ω) и

X& (ω) являются четными, а функции Im X& (ω) и ϕ(ω) - нечетными.

56

Это означает, что спектральная функция в области отрицательных значений ω комплексно сопряжена спектральной функции в области положительных значений частоты. Этот факт уже отмечался в гл. 1 при анализе представления действительных периодических функций времени комплексным рядом Фурье.

Рассмотрим теперь обратное преобразование Фурье спектральной функции

X& (ω)= α +1 jω

для того, чтобы убедиться во взаимной однозначности прямого и обратного преобразований Фурье.

Выполним обратное преобразование Фурье над спектральной функцией

X& (ω):

и введем замену переменных jω = s . Тогда dω = ds / j , а выражение (2.12)

можно переписать в виде:

где интегрирование проводится по замкнутому контуру − jω → jω.. Вы-

ражение (2.12) представляет собой интегральную формулу Коши

что и требовалось доказать. Рассмотренный пример иллюстрирует следующее общее положение: если одно из двух преобразований Фурье (пря-

58

мое или обратное) выполняется достаточно просто, то другое преобразование не является столь простым.

2.3.3 Спектральное разложение функции Гаусса (гауссов импульс)

Найдем преобразование Фурье функции Гаусса x(t )= exp(−t2 / 2τ2 ),

изображенной на рис. 2.8. Здесь величина τ есть половина протяженности этой функции на уровне 1/ e ≈ 0.606 .

Рис 2.8. Функция Гаусса

Полагая амплитуду импульса единичной, запишем прямое преобразова-

ние Фурье функции x(t ):

Для вычисления интеграла дополним показатель степени в подынте-

гральном выражении до полного квадрата (t2 / 2τ2 ) + jωt + c2 −c2 , опреде-

59

Подставляя полученный показатель степени в выражение (2.13а), запишем

Нетрудно видеть, что спектральная плотность (2.14) функции Гаусса x(t )= exp(−t2 / 2τ2 ) также имеет гауссову форму.

Поскольку функция x(t ) и X (ω) имеют одинаковый вид, обратное преобразование Фурье можно вычислить, используя метод, аналогичный методу прямого преобразования Фурье.

Из выражения (2.20) следует также, что с уменьшением полуширины импульса τ ширина спектра импульса увеличивается, а с увеличением – уменьшается. Это правило справедливо и для больших значений τ (даже при τ → ∞ ), поскольку функция типа exp(−ατ2 ) убывает гораздо быстрее,

нежели возрастает функция в bτ (или даже любая степень функции bτ ).

60

2.4. Энергетические характеристики сигнала и эффективная ширина его спектра

При рассмотрении теорем о средних значениях периодических функций (см. гл. 1) была проанализирована теорема о средней мощности периодической функции, а также теорема Парсеваля, доказывающая, что мощность периодической функции, найденная интегрированием ее квадрата за период, равна сумме квадратов модулей коэффициентов разложения этой функции в комплексный ряд Фурье.

Аналогично, мощность непериодического сигнала можно определить с использованием как временного, так и спектрального представлений:

Выражение (2.15) свидетельствует о конечности мощности сигнала (т.е. об его интегрируемости в квадрате), а соотношение (2.15а), впервые полученное Рэлеем (Дж.Стрэтт), эквивалентно теореме Парсеваля, рассмотренной в гл. 1. Квадрат модуля спектральной плотности есть энергетический спектр непериодической функции

Необходимо отметить, что реальные непериодические сигналы, обладающие конечной мощностью, обычно имеют ограниченную протяженность по оси времени (ограниченную длительность). В то же время преобразование Фурье функции времени, заданной на конечном интервале, имеет бесконечную протяженность по оси частот, т.е. – бесконечный спектр. В

61