1490

Среднее значение разности x∆t (t) можно найти как

в силу инвариантности статистических характеристик этого процесса. Средний квадрат разности x∆t (t) имеет вид

m{[x∆t (t)]2}= m{[x(t + ∆t) − x(t)]2}=

= m{x2 (t + ∆t )}+ m{x2 (t )}− 2m{x(t )x(t + ∆t )}.

Для стационарного процесса величина среднего квадрата определяется как

где τ = t1 −t2 .

Вероятностные характеристики (среднее значение, автокорреляционная функция и.т.д.) производной dx(t) / dt случайного процесса могут быть по-

лучены из вероятностных характеристик отношения

182

x∆t (t ) = x(t + ∆t )− x(t )

∆t ∆t

предельным переходом при ∆t → 0 .

Тогда для среднего значения производной стационарного процесса получим (учитывая линейность операций дифференцирования и математического ожидания)

Таким образом, среднее значение производной стационарного случайного процесса всегда равно нулю.

Найдем теперь автокорреляционную функцию производной случайного процесса

Для стационарного случайного процесса функция K∆t (t1, t2 ) определяет-

ся выражением (4.79). Тогда

Разлагая правую часть последнего выражения в ряд Тейлора, найдем автокорреляционную функцию KX ' (τ) производной dx(t) / dt случайного про-

цесса x(t) :

Таким образом, автокорреляционная функция производной стационарного случайного процесса x(t) равна второй производной от автокорреля-

ционной функции процесса x(t) , взятой с обратным знаком [19].

183

В соответствии с теоремой Винера-Хинчина, автокорреляционная функция производной dx(t) / dt стационарного случайного процесса должна быть связана с энергетическим спектром производной случайного процесса. Используя выражение (4.54б), которое в силу четности автокорреляци-

онной функции K (τ ) можно записать как

K(τ )= 1 ∞∫G(ω)cosωτdω

π0

ивыражение (4.80), запишем:

Из выражения (4.81) следует, что энергетический спектр производной случайного процесса x(t) определяется в виде

(4.82)

Нетрудно показать, что автокорреляционная функция производной по-

представляющие собой производные порядка k от исходной автокорреляционной функции случайного процесса x(t) . Нетрудно показать после

простых вычислений, что эти величины существуют только для четных значений k и имеют вид

184

ятностей случайной величины x могут быть определены путем диффе-

ренцирования характеристической функции S (v), дифференцирование ав-

токорреляционной функции случайного процесса (которая по своим свойствам аналогична характеристической функции) приводит к величинам, которые могут быть интерпретированы как моменты энергетического спектра, обладающего свойствами плотности вероятности.

Величины b2k называются спектральными моментами порядка 2k

действительного случайного процесса x(t) .

4.8. Автокорреляционные функции и энергетические спектры некоторых случайных радиотехнических сигналов

Рассмотрим примеры, показывающие последовательность вычислений при определении автокорреляционных функций некоторых случайных радиотехнических сигналов, а также их энергетических спектров [22].

где A и ω – постоянные амплитуда и частота, а ϕ – случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале (−π, π ).

В соответствии с определением автокорреляционной функции запишем

KX (τ ) = m{x(t )x(t +τ )}− mX2 ,

где m{...} – оператор математического ожидания (усреднения). Найдем прежде всего среднее значение случайного процесса (4.85), представляющего собой функцию случайной величины ϕ . Учитывая, что среднее зна-

чение функции случайной величины определяется как

185

С учетом того, что sinα sin β = 0,5 cos(α − β )−cos(α + β ) , перепишем

(4.87а) как

Нетрудно видеть, что второе слагаемое выражения (4.87) равно нулю

и тогда автокорреляционная функция процесса (4.85) принимает вид:

186

Вычисляя автокорреляционную функцию косинусоиды со случайной фазой

x(t )= Acos(ω0t +ϕ),

где величины A и ω0 постоянны, а фаза ϕ распределена равномерно на ин-

тервале(−π,π ), нетрудно получить

Сравнивая выражения (4.88а) и (4.88б), видим, что автокорреляционная функция нечувствительна к величине постоянного фазового сдвига (имеет-

Используя теорему Винера-Хинчина, найдем энергетический спектр

=A2 π∫{exp − j (ω −ω0 )t + exp − j (ω +ω0 )t }dτ. 4 −π

187

Таким образом, энергетический спектр гармонического колебания со случайной фазой включает в себя две δ – функции расположенные на расстоянии ±ω0 от начала координат.

Рассмотрим теперь более сложный пример, связанный с определением спектра мощности стационарного случайного процесса как плотности ве-

где амплитуда A, частота ω и начальная фаза ϕ представляют собой неза-

висимые случайные величины. При этом случайные величины А и ω зада-

ны одномерными плотностями вероятностей f1 (A) и f1 (ω), а начальная фаза ϕ распределена равномерно на интервале (−π,π ), так что f1 (ϕ) =1/ 2π, −π <ϕ <π . Нетрудно показать, что математическое ожида-

ние случайного процесса (4.90) m{α (t )} = 0 . Тогда автокорреляционная функция этого может быть определена как среднее значение функции трех случайных аргументов в виде:

KX (t1, t2 )= ∞∫ ∞∫ ∞∫ x(t1 )x(t2 ) f3 (A, ω, ϕ)dAdωdϕ .

−∞ −∞ −∞

Учитывая независимость случайных величин А, ω, ϕ , положительную определенность величины А и стационарность процесса x(t ), перепишем

188

Внешний интеграл в выражении (4.91) представляет собой средний квадрат амплитуды случайного процесса (4.90), т.е. величину m{A2} = A2 .

Рассматривая двойной внутренний интеграл в выражении (4.91), перепи-

Учитывая соотношение (4.93) и тот факт, что значение внешнего инте-

грала в выражении (4.91) есть A2 , получим автокорреляционную функцию процесса (4.90) в виде:

189

Для определения спектра мощности стационарного процесса (4.90) напомним, что, в соответствии с теоремой Винера-Хинчина, автокорреляционная функция может быть записана как

Приравнивая правые части выражений (4.96) и (4.94) видим, что

∞∫0,5A2 f1 (ω)cosωτdω =∞∫(2π )−1 G(ω)cosωτdω,

откуда

(2π )−1 G(ω)= 0,5A2 f1 (ω),

или

Таким образом, с точностью до постоянного множителя спектр мощности стационарного случайного процесса (4.90) совпадает с одномерной плотностью вероятностей случайной частоты этого колебания, что и подтверждает рассмотренную выше гипотезу об эквивалентности энергетического спектра случайного процесса и плотности вероятностей случайной частоты ω.

В заключении подраздела рассмотрим задачу определения энергетического спектра случайного сигнала, имеющего нулевое среднее значение и характеризуемого автокорреляционной функцией вида

В соответствии с теоремой Винера-Хинчина запишем:

190

G1 (ω)= ∞∫ R1 (τ )exp[− jωτ]dτ =

Принимая во внимание, что

191