1490

Сравнивая выражение (3.14) с выражением (3.9) для преобразования Лапласа функции единичного скачка, сформулируем теорему задержки (смещения):

Если функция x(t) обладает преобразованием Лапласа X (s) , то преоб-

разование Лапласа задержанной (смещенной функции) x(t −Τ) определя-

ется как

где X (s) есть преобразование Лапласа несмещенной функции, а величина

Τ в показателе экспоненты есть смещение.

Символ L[...] в соотношении (3.15) означает оператор Лапласа, т.е.

L[...]= ∞∫x(t )exp(−st )dt

0

и это символическое обозначение будет использоваться в дальнейшем.

Пример 2. Найдем преобразование Лапласа суммы (разности) двух функций времени

x3 (t) = x1(t) − x2 (t) , где

Функции x1 (t), x2 (t), x3 (t) изображены на рис. 3.4.

Тогда

X3 (s) = ∞∫[x1(t) − x2 (t)]exp(−st )dt = ∞∫x1 (t)exp(−st )dt −

Соотношение (3.16) может быть найдено и прямым интегрированием:

102

X3 (s) = ∞∫x3 (t)exp(−st )dt =

0

Рис 3.4. Теорема линейности для преобразования Лапласа: вычитание функций единичного скачка

Нетрудно видеть, что выражение X3 (s) есть разность преобразований Лапласа функций X1(s) и X 2 (s) . Этот пример позволяет сформировать

Отметим, что в рассмотренном выше примере были использованы как теорема сложения, так и теорема смещения.

103

Рассмотрим теперь область сходимости интеграла (3.16б). Спектральная плотность X3 (s) = 1s 1 −exp(−st ) не имеет особенностей для всех значе-

ний s , включая точку полюса s =0 , поскольку предел этой функции при s →0 равен (после раскрытия неопределенности)

Таким образом, область сходимости интеграла (3.16б) представляет собой всю s - плоскость, поскольку, как было указано выше, функция x3 (t )

представляет собой импульс, определенный на конечном временном интервале.

3.2.3. Теорема умножения на t

Теорема умножения на t формулируется следующим образом:

Рассмотрим теперь примеры, демонстрирующие справедливость равен-

ства (3.18).

Пример 1. Зададим функцию времени x(t )= exp(−αt ), преобразование Лапласа которой определяется выражением (3.10)

X (s)= s +1α .

Найдем теперь преобразование Лапласа функции x1(t) =tx(t )=t exp(−αt ):

104

леннее, чем убывает функция exp(−βt ), приведем выражение (3.19) к виду

105

Тогда

3.2.4. Теоремы о преобразовании Лапласа производной и интеграла

Зададим функцию x(t) , обладающую преобразованием Лапласа X (s) и

найдем преобразование Лапласа производной dx(t) / dt . Поскольку, по оп-

ределению, производная некоторой функции по времени есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении величины приращения к нулю

то, учитывая линейность операции дифференцирования и интегрирования, запишем преобразование Лапласа производной

и раскроем неопределенность типа 0/0, имеющую место при δt →0 . Тогда

106

Для инженерных целей вполне достаточной будет реализация обратного преобразования Лапласа на основе метода разложения Хевисайда, использующего некоторые свойства правильных рациональных функций. Выше было указано, что большинство функций спектральной плотности X (s)

относится именно к этому классу.

Запишем правильную рациональную функцию

и, полагая, что все корни полинома знаменателя различны (так называе-

Отметим, что нормировка функции x(t) (см. выражение (3.27)) выпол-

няется так, чтобы коэффициент при максимальной степени s в полиноме знаменателя был равен единице. Невыполнение этого условия приведет к ошибкам при вычислении вычетов.

Подставим теперь разложение (3.28) функции x(t) в выражение (3.26) для обратного преобразования Лапласа. Тогда

108

входящий в выражение (3.30), может быть вычислен с использованием интегральной формулы Коши [18]

1 f (z)

2π j C∫ z − z0 dz = f (z0 ) .

Таким образом, выражение (3.30) даёт представление функции времени x(t) в виде

Выражение (3.31), а также его обобщение для случая кратных полюсов, называют теоремой разложения Хевисайда (или просто разложением Хевисайда).

Рассмотрим несколько примеров использования разложения Хевисайда для определения функции x(t) по её спектральной плотности X (s) .

Пример 1. Зададим спектральную плотность в виде

X (s) = ss2++2s = s(ss++21) = ks1 + sk+2 1.

Эта функция имеет два полюса sP1 = 0 и sP2 = −1. Найдём вычеты:

109

Таким образом

x(t) = 2 −exp(−t ) при t > 0 .

Нетрудно убедиться, что прямое преобразование Лапласа этой функции имеет вид

X (s)= ∞∫ 2 −exp(−t ) exp(−st )dt =

0

= −2s exp(−st )∞0 + s 1+1exp −(s +1)t ∞0 = s(ss++11) ,

что подтверждает взаимно-однозначный характер прямого и обратного преобразований Лапласа.

Пример 2. Пусть спектральная плотность X (s) имеет вид

Эта функция имеет комплексно-сопряженные полюсы sP1 = − jω0 и

Поскольку полиномы числителя и знаменателя правильной рациональной функции X (s) имеют только действительные коэффициенты, то полю-

сы, равно как и вычеты, имеют вид комплексно-сопряженных пар.

Запишем теперь функцию времени

x(t) = 21j exp( jω0t )−exp(− jω0t ) =sinω0 , t > 0 .

110

Прямое преобразование Лапласа этой функции найдено в примере 4 п.

3.2.1 и имеет вид X (s) = ω0 .

s2 +ω2

Пример 3. Рассмотрим теперь спектральные плотности, обладающие кратными полюсами. Пусть спектральная плотность имеет вид

откуда следует, что функция X (s) обладает кратными полюсами с кратностью K = 2 : sP1 = sP2 = 0 .

Для оценки формы функций времени, соответствующих преобразованиям Лапласа с кратными полюсами, необходимо найти функцию, преобра-

Напомним теорему об умножении на t (см. п. 3.2.3), в соответствии с которой преобразование Лапласа функции вида t exp(−αt ) определяется в

x(s) , обладающей полюсом кратности n +1, может быть записана как

111