1490

браженной на рис. 1.2. Смещенную последовательность можно записать в виде ξ (t −τ / 2).

ξ (t ) τ

T

Рис. 1.5. Смещенная последовательность прямоугольных импульсов

Определим коэффициенты комплексного ряда Фурье смещенной последовательности:

Сравнение выражений (1.34) и (1.40) позволяет сформулировать теорему смещения (задержки) для разложения в ряд Фурье.

Теорема смещения: Коэффициенты ряда Фурье смещенной периодической функции определяются произведением коэффициентов ряда Фурье несме-

32

Нетрудно убедиться, что данная формулировка справедлива для произвольной величины смещения ∆t . Таким образом, задержка функции во времени отображается в появлении прогрессивного линейного сдвига фазы спектральных составляющих функции.

Верно и обратное: если искусственно ввести в спектральные состав-

ляющие некоторой периодической функции ξ (t ) фазовый сдвиг путем ис-

пользования линейного фильтра с равномерной амплитудной передаточ-

сящей от частоты, то сигнал на выходе фильтра будет задержан относи-

тельно основного сигнала на величину ∆t : UВЫХ (t )=ξ (t − ∆t ). Данное устройство представляет собой линию задержки.

1.5.3. Разложение в ряд Фурье периодической последовательности треугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность импульсов, имеющих форму равнобедренного треугольника, длительность 2τ , единичную ам-

Рис. 1.6. Периодическая последовательность треугольных импульсов

33

Функцию ξ (t ) зададим соотношениями

Определим коэффициенты разложения данной функции в комплексный

I2 =τ1 −∫0τ t exp j 2πTkτ dt =

I4 =τ1 ∫τ0 t exp − j 2πTkτ dt =

и подставляя результат в выражение (1.41), получим

Ck =τ ( 2πT )2 1−cos 2πTkτ , 2 k

откуда следует окончательно

34

Сравнивая выражение (1.34) для коэффициентов Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов, имеющих длительность τ и период повторения T , с выражением (1.42), видим, что спектральные коэффициенты разложения последовательности треугольных импульсов (рис. 1.6) тесно связаны с коэффициентами (1.34). Данный факт будет проанализирован позже, после изучения еще не рассмотренных свойств спектральных разложений.

1.5.4. Разложение в ряд Фурье гармонического сигнала, ограниченного на заданном уровне

В мощных усилителях (прежде всего в оконечных усилителях радиопередающих устройств) часто используется эффект отсечки или насыщения

сигнала на некотором уровне. Это явление представлено на рис.1.7.

Acosψ

Рис. 1.7. Гармонический сигнал, ограниченный на заданном уровне

Искажения такого типа относятся к классу нелинейных искажений и приводят к появлению новых гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте сигнала. При этом мощность сигнала на основной (первой) гармонике уменьшается за счет перераспределения энергии меж-

35

ду сигналом основной частоты и возникшими гармоническими составляющими.

Рассмотрим гармонический сигнал вида Acosψ , где ψ – обобщенная фаза, и ограничим этот сигнал на уровне A0 < A. Введем специальный па-

раметр – угол отсечки θ , который определяется из соотношения

Acosθ = A0 как θ = arccos(A0 / A) и найдем коэффициенты ряда Фурье ог-

раниченного гармонического сигнала.

Учитывая переход от переменной t к переменной ψ , а также четность анализируемой функции, нетрудно видеть, что коэффициенты ряда Фурье имеют вид

удается из-за возникновения неопределенности в итоговом результате при k =1. В связи с этим определим отдельно коэффициент a1 , а затем общее

36

Найдем теперь общее выражение для коэффициентов разложения ak

при k >1.

Выполняя простейшие преобразования выражения (1.45) и учитывая, что

представляют собой так называемые коэффициенты Берга, известного советского специалиста в области радиотехники, который впервые определил эти величины и составил их таблицы. Используя выражения (1.43), (1.44) и (1.46), запишем коэффициенты Берга в общем виде как

37

Зависимость первых трех коэффициентов Берга от величины угла отсечки приведена на рис. 1.8 [1].

Рис. 1.8. Значения коэффициентов Берга в зависимости от угла отсечки

Следует указать, что знаки перед коэффициентами (1.47) для различных спектральных составляющих не имеют особого значения, т.к. они определяются фазой колебания, которая изменяется при изменении начала отсчета времени. Таблицы, составленные академиком Бергом, использовались в течение многих десятилетий и используются до сих пор для расчета содержания основной и высших гармонических составляющих в выходном сигнале при явлениях ограничения, насыщения, умножения частоты, а также для расчета постоянной составляющей и величины пульсаций выходного напряжения выпрямителей (т.е. вторичных источников питания).

Рассмотрим простейший пример использования коэффициентов Берга для анализа однополупериодного выпрямителя. В данном случае угол отсечки θ =π / 2 и графическое изображение выходного напряжения приведено на рис. 1.9. Для этого случая амплитуда постоянной составляющей (полезный результат) определяется как a0 = 0,32, а амплитуды пульсаций,

38

обусловленные присутствием основной и второй гармоник входного напряжения, определяются как a1 = 0,5A и a2 = 0,21A. Пульсации в выходном напряжении должны быть подавлены соответствующим фильтром нижних частот. Анализ таких фильтров будет проведен в третьей главе книги.

В заключение отметим, что для случая двухполупериодного выпрямления амплитуда постоянной составляющей увеличивается в два раза, поскольку в этом случае a0 = 2A/π = 0,64A.

1.6. Средние значения периодических функций. Теорема Парсеваля

Поскольку периодические функции обладают неизменной формой и амплитудой на интервале времени −∞ <t < ∞, то в ряде случаев интегралы от некоторых функций на этом интервале могут расходиться.

Однако средние значения периодических функций на бесконечном интервале существуют. Так, в подразделе 1.1 было доказано, что среднее значение периодической функции на бесконечном интервале существует и равно среднему значению этой функции за её период (см. выражение (1.8))

<ξ (t )>= 1 T∫ξ (t )dt,

T 0

39

где T – период функции. Как указывалось выше, это значение представляет собой коэффициент Фурье для нулевой частоты, или постоянную составляющую.

1.6.1. Усреднение в задаче определения коэффициентов Фурье

Идея усреднения может быть распространена и на другие коэффициенты ряда Фурье. В подразделе 1.2.2 было указано, что коэффициенты Фурье могут быть интерпретированы как скалярное произведение разлагаемой в ряд Фурье функции и единичных ортов функционального пространства

Эти интегралы можно также рассматривать как средние значения произве-

дений функции ξ (t ) и функций cos(2πkt /T ), sin (2πkt /T ):

Использование этих выражений позволяет построить способ определения коэффициентов Фурье периодической функции произвольной формы,

который заключается в следующем. Периодическая функция ξ (t ) посту-

пает на вход системы, содержащей два идентичных канала, включающих в себя перемножители и интеграторы (см. рис. 1.10.).

cos 2πT k t

Рис. 1.10. Блок – схема спектроанализатора

40