1490

В случае, когда функция X (s) задана в виде

X(s) =1/ s2

иимеет полюсы sp1 = sp 2 = 0 кратности 2, нетрудно видеть, что

x(t) = L(−1) 1/ s2 =t.

3.4.Использование преобразования Лапласа для анализа радиотехнических цепей

В настоящем параграфе рассматриваются методы использования преобразования Лапласа для анализа линейных радиотехнических цепей и для анализа сигналов при прохождении через эти цепи.

3.4.1 Основные соотношения для элементов линейных радиотехнических цепей в частотной области

Запишем прежде всего основные соотношения для элементов линейных цепей с сосредоточенными параметрами (резистор, линейная ёмкость, линейная индуктивность) в частотной области [8, 11, 16].

Линейный резистор R описывается как законом Ома в области времени

112

между преобразованиями Лапласа напряжения и тока. По сути дела, выражение (3.32) представляет собой закон Ома в частотной области, из которого следует, что значения спектральной функции U (s) прямо пропорцио-

нальны значениям спектральной функции I (s) .

Для получения подобных основных соотношений для линейных ёмкости и индуктивности в частотной области воспользуемся теоремой дифференцирования (см. п. 3.2.4)

При этом будем полагать, что в начальный момент времени ёмкость не заряжена(UC = 0 при t = 0) , а ток через индуктивность в начальный момент времени также равен нулю (IL = 0 при t = 0).

Запишем дифференциальное уравнение, связывающее ток, проходящий через ёмкость C , с напряжением на этой емкости

i(t) =C dU (t) dt

и найдём преобразование Лапласа левой и правой частей этого уравнения

Из выражения (3.33а) следует, что дифференциальное уравнение трансформировалось в алгебраическое. Решение этого алгебраического уравне-

Математически выражение (3.33б) имеет ту же форму, что и закон Ома в частотной области (3.32) с тем отличием, что комплексное сопротивле-

ние ёмкости (импеданс) Z&C =1/ Cs имеет частотно-зависимый характер.

113

Учитывая, что s =σ + jω , для случая σ = 0 (идеальная ёмкость) можно за-

писать Z&C =1/ jωC .

Аналогично, выполняя преобразование Лапласа над уравнением

где ZC = Ls – частотно-зависимое сопротивление индуктивности, которое для случая σ = 0 (идеальная индуктивность) переходит в ZL = jωL .

Из изложенного следует, что использование преобразования Лапласа (переход в частотную область) позволяет заменять дифференциальные уравнения (пусть даже простейшие) алгебраическими, что значительно упрощает анализ.

3.4.2. Передаточные функции простейших цепей

Комплексной передаточной функцией линейной радиотехнической цепи называется отношение преобразование Лапласа выходного напряжения

U&ВЫХ(s) к преобразованию Лапласа входного напряжения U&ВХ(s) :

Рассмотрим простейшие ненагруженные четырёхполюсники, представляющие собой фильтры низких и высоких частот. Эти фильтры могут быть выполнены в виде RC или RL цепей. Так, фильтры низких частот изображены на рисунке 3.5а, а фильтры высоких частот изображены на рисунке 3.5б. Запишем передаточные функции этих фильтров в виде

H& (s)= U&&ВЫХ(s) = Z&&ВЫХ(s)&I&(s) . (3.35а)

UВХ(s) ZВХ(s)I (s)

114

Графически эти зависимости изображены на рисунках 3.6а,б. По оси абсцисс на этих рисунках отложена безразмерная величина ωτ0 .

Из рисунка 3.6а следует, что модуль передаточной функции на частоте ω = 0 равен единице и убывает с увеличением частоты, а из рисунка 3.6б видно, что аргумент этой функции стремится к значению −π / 2 при

ω →∞.

где постоянная времени τ0 , как и ранее, определяется в виде τ0 = RC для

RC -фильтра и τ0 = R / L для RL -фильтра. Найдём теперь АЧХ и ФЧХ для передаточной функции (3.39) в зависимости от частоты.

Записывая функцию H ( jω) =1 +jωjωττ0 0 , а затем выделяя её действительную и мнимую части

116

Полученные зависимости изображены на рисунке 3.7а,б. При этом для оп-

ределения величины | H& ( jω) | при ω →∞необходимо раскрыть неопреде-

лённость ∞/ ∞, после чего выясняется, что модуль АЧХ фильтра высоких частот асимптотически стремиться к значению 1 при ω →∞ (рис.3.7а). Из рис.3.7б следует, что значение ФЧХ для ω = 0 равно π / 2 , а в пределе при ω →∞ значение ФЧХ спадает до нуля.

3.5. Анализ искажений формы сигналов при прохождении фильтров нижних и высоких частот

Рассмотрим процессы передачи сигналов простейшей формы при их прохождении через фильтры нижних частот (НЧ) и высоких частот (ВЧ). Из выражения (3.34) для передаточной функции цепи следует, что преобразо-

117

вание Лапласа выходного сигнала U&ВЫХ(s) ≡Y (s) равно произведению преобразования Лапласа входного сигнала U&ВХ(s) ≡ X (s) на передаточную функцию цепи H& (s) :

При этом каждый элемент спектральной плотности входного сигнала умножается на весовой коэффициент, равный величине элемента спектральной плотности передаточной функции. Для выяснения физического смысла искажений формы сигналов через НЧ и ВЧ фильтры рассмотрим процесс прохождения через эти фильтры простейших сигналов.

3.5.1. Прохождение функции единичного скачка через фильтр нижних частот

Рассмотрим процесс передачи функции единичного скачка (функции Хевисайда)

1 при t > 0, x(t) =

0 при t < 0,

обладающей преобразованием Лапласа L[x(t)]=1/ s, через фильтр нижних частот, характеризуемый передаточной функцией

H&НЧ(s) = [τ0 (s +11/τ0 )].

В соответствии с выражением (3.41) запишем преобразование Лапласа

Функцию времени y(t) на выходе НЧ фильтра найдём, выполнив обратное преобразование Лапласа над выражением (3.42) с использованием разло-

118

жения Хевисайда, учитывая, что функция Y (s) имеет два полюса

(sP1 =1/τ0 , sP2 = 0) :

и подставляя их в выражение (3.43), получим временную зависимость сигнала на выходе НЧ фильтра при наличии на входе функции единичного скачка:

Графическое изображение функции y1 (t) приведено на рисунке 3.8. Здесь по оси абсцисс отложена безразмерная переменная at =t /τ0 .

Из рис. 3.8 следует, что функция единичного скачка при прохождении через фильтр нижних частот изменила свою форму. Изменение формы заключается в сглаживании входной функции, т.е. в уменьшении скорости нарастания фронта единичного скачка соответственно постоянной времени цепи τ0 за счёт уменьшения содержания высокочастотных составляющих.

Рис. 3.8. Эффект сглаживания функции единичного скачка при прохождении через фильтр нижних частот

119

При увеличении величины постоянной времени функция y1(t) будет нарастать ещё более медленно. Эффект сглаживания сигнала при прохождении НЧ фильтров эквивалентен (и это можно продемонстрировать математически) операции интегрирования (усреднения) сигнала на определённом интервале. Поэтому фильтр нижних частот называется интегрирующей цепью.

3.5.2. Прохождение прямоугольного импульса через фильтр нижних частот

Рассмотрим теперь процесс прохождения прямоугольного импульса с единичной амплитудой

1 при 0 <t <τ, x(t) =

0 при всех других значениях t

через интегрирующую цепь, обладающую передаточной функцией

H&НЧ(s) = [τ0 (s +11/τ0 )].

Преобразование Лапласа заданной функции реализуется с использованием теорем смещения и сложения и имеет вид

X (s) = 1 − exp(−sτ ). s s

Тогда преобразование Лапласа выходного сигнала фильтра определяется в виде разности Y (s) =Y1 (s) −Y2 (s), где

y(t) = y1 (t) − y2 (t),

120

где y1 (t) определена на интервале t > 0 , а y2 (t) определена на интервале t >τ .

Функция y1 (t) определяется выражением (3.44а)

y1(t) =1 −exp(−1/τ0 )

при t > 0 , а функцию y2 (t) найдём, используя разложение Хевисайда, вы-

четы для которого равны

k1 =Y2 (s)s |S =0 =1, k2 =Y2 (s)(s +1/τ0 ) S =1/τ0 = −exp(−τ /τ0 ).

Тогда функция y2 (t) определяется как

y2 (t) =1 −exp −tτ−0τ

при t >τ и результат прохождения прямоугольного импульса через НЧ фильтр определяется разностью сигналов y1 (t) − y2 (t) , заданных на интер-

валах t > 0 и t >τ соответственно

При этом функции единичного скачка, содержащиеся в первом и втором слагаемых заданы на интервалах t > 0 и t >τ соответственно. Выходная функция y(t) изображена графически на рис. 3.9, где предположено (без уменьшения общности), что τ0 τ. Из рисунка 3.9 следует, что при про-

хождении прямоугольного импульса через фильтр нижних частот как передний, так и задний фронты сглаживаются. При этом скорость нарастания переднего фронта и скорость спада заднего фронта определяются постоянной времени τ0 фильтра нижних частот.

121