1490

4.2.1.Закон равномерной плотности.

Внекоторых практических задачах встречаются случайные непрерывные величины, о которых известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, а в пределах этого интер-

вала все значения случайной величины одинаково вероятны. Так, напри-

мер, значения случайной фазы флуктуирующего сигнала равномерно за-

полняют интервал {−π; π}, а значения координаты x рассеивающих цен-

тров сложного радарного объекта могут равномерно заполнять интервал

{xmin , xmax }.

Рассмотрим СВ ξ , подчиненную закону равномерной плотности на ин-

тервале α, β. (рис. 4.4) и запишем для нее выражение плотности распре-

деления f (x) . Плотность f (x) постоянна и равна C на интервале α, β.

Вне этого интервала она равна нулю. Из условия нормировки (4.11) следу-

ет, что C(β −α) =1.Тогда C = (β −α)−1 и плотность распределения имеет вид

x

α β

Рис. 4.4. Равномерная плотность распределения случайной величины

Определим числовые характеристики CВ ξ , подчиненной закону (4.24).

Математическое ожидание ξ равно

152

а дисперсия определяется выражением

из которого следует, что среднеквадратичное отклонение имеет вид

4.2.2. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

График нормального распределения изображен на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Нормальная плотность распределения случайной величины

Численные параметры m и σ входящие в выражение (4.28) есть не что иное как математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

153

Покажем это, определив первый начальный и второй центральный моменты распределения (4.28). Так, первый начальный момент запишем в виде

Нетрудно видеть, что первый интеграл в выражении (4.29) равен нулю, а второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона

Таким образом, первый начальный момент M [ξ]= m есть математиче-

ское ожидание нормально распределенной случайной величины. Определим теперь второй центральный момент случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Для интегрирования по частям полагаем, что

t = u, dv = 2t exp(−t2 )dt, v = ∞∫exp(−x)dx = −exp(−t2 ),

−∞

где x = t2 , dx = 2tdt.

Отсюда следует, что второй центральный момент (дисперсия) имеет вид

154

поскольку первое слагаемое в скобках равно нулю, а второе есть интеграл Эйлера-Пуассона. Таким образом, параметр σ плотности распределения (4.28) представляет собой среднеквадратическое отклонение случайной величины.

4.2.3. Нормальный закон распределения системы двух случайных величин

В общем виде плотность нормального распределения системы двух слу-

чайных величин {x, y}имеет вид

ражений (4.16) и проводя вычисления, аналогичные проделанным выше, можно показать, что параметры mX , mY представляют собой математиче-

ские ожидания величин x, y, а σX , σX есть их среднеквадратические от-

клонения. Ключевым моментом анализа выражения (4.30) является демонстрация того факта, что параметр r представляет собой коэффициент корреляции случайных величин x, y . Для этого вычислим корреляционный

момент (4.23а). Подставляя в выражение (4.23а) плотность вероятности

(4.30), получим:

155

Якобиан преобразования в данном случае равен 2σXσY 1− r2 и, следова-

тельно,

эффициент корреляции случайных величин x, y . Предположим теперь,

что эти случайные величины некоррелированы. Тогда, принимая r = 0 в выражении (4.30), получим

156

4.3. Случайные процессы и одномерное распределение вероятностей случайных процессов. Моменты распределения

Функция какого-либо аргумента, принимающая случайные значения для каждого значения аргумента, называется случайной функцией [20, 21]. Случайная функция времени называется случайным процессом. Отдельное наблюдение над случайным процессом, который протекает при неизменных условиях, называется реализацией случайного процесса x(t). Каждое отдельное наблюдение будет давать новую непредсказуемую реализацию случайного процесса. Таким образом, множество реализаций случайного процесса можно описать только с использованием вероятностных характеристик. Рассмотрим достаточно большое число N реализаций случайного процесса x(t) и выделим из этого числа n реализаций, которые в некото-

рый момент времени t1 были меньше некоторого уровня x1. Обозначим эти

(4.6), нетрудно видеть, что упомянутая вероятность задаёт одномерную функцию распределения случайного процесса

где время t имеет смысл параметра. Функция (4.33) обладает всеми свойствами функции распределения (см. подраздел 4.1.3). Производная функция распределения (4.33) определяет плотность распределения вероятностей случайного процесса x(t)

157

обладающую всеми свойствами плотности вероятности. Вероятность того, что случайный процесс x(t) в момент времени t1 принимает значение, на-

ходящееся в интервале x1 < x1(t) < x1 + dx определяется в соответствии с ре-

зультатами подраздела (4.1.3) как элемент вероятности

P[x1 < x1(t) < x1 + dx]= f (x1, t1)dx1.

Хотя одномерная функция распределения и одномерная плотность дают полное описание случайного процесса в момент времени t1 , в практиче-

ских случаях можно обойтись более простыми числовыми характеристиками, т.е. начальными и центральными моментами распределения, а именно: математическим ожиданием и дисперсией, как наиболее используемы-

В принципе, как это следует из выражений (4.35) и (4.36), значения математического ожидания и дисперсии могут изменяться в зависимости от положения точки t1 , в которой они определены. Изменение этих парамет-

ров приводит к изменению формы одномерного распределения вероятностей случайного процесса от точки к точке.

4.4. Полное статическое описание случайного процесса. Стационарные случайные процессы. Автокорреляционная функция

Поскольку между значениями случайного процесса может существовать статистическая связь (корреляция) и поскольку моменты случайного про-

158

цесса могут изменяться в зависимости от положения точки t1 на оси вре-

мени, полное статистическое описание случайного процесса может быть задано только многомерной функцией fn (x1, t1; x2 , t2 ; ...; xn , tn ) , описы-

вающей как изменение моментов процесса во времени, так и статистическую связь (корреляцию) между значениями процесса в несовпадающие моменты времени. Получение таких n - мерных распределений представляет собой весьма трудоемкий процесс. Однако существует такой класс случайных процессов, для которых определение n – мерной плотности распределения не является необходимым. Это так называемые стационарные случайные процессы, составляющие значительную часть случайных процессов в радиотехнике. Случайный процесс называется стационарным, если многомерная плотность распределения вероятностей не зависит от перемещения всех точек наблюдения t1, t2 , ..., tn на одинаковую величину ∆t

вдоль оси времени

fn (x1, t1; x2 , t2 ; ...; xn , tn ) = fn (x1, t1 + ∆t; x2 , t2 + ∆t; ...; xn , tn + ∆t).

Таким образом, статистический характер стационарного процесса не изменяется во времени. Эта неизменность (инвариантность во времени) определяется следующими обстоятельствами [ 20]:

•Одномерная плотность вероятностей случайного процесса x(t) не зависит от времени, т. е. f1(x1, t1) = f1(x1, t1 + ∆t) = f1(x);

•Двумерная плотность вероятности случайного процесса x(t) зави-

сит только от разноса во времени t1 − t2 =τ точек, в которых она определена и при τ = const не изменяется для любых значений времени t1 и t2 :

f2 (x1, t1; x2 , t2 ;) = f2 (x1, t1 + ∆t; x2 , t2 + ∆t;) = f2 (x1, x2 , τ )

Указанные обстоятельства обуславливают следующие свойства стационарных случайных процессов [ 20]:

159

1.Математическое ожидание стационарного случайного процесс x(t) не зависит от времени (свойство инвариантности к сдвигу по оси времени) и является постоянной величиной:

2.Дисперсия стационарного случайного процесса x(t) не зависит от вре-

мени и является постоянной величиной:

∞

−∞

3.Смешанный центральный момент второго порядка двумерной плотности вероятности f2 (x1, x2 , τ) (корреляционный момент) зависит только от разноса моментов времени τ точек, в которых определена двумерная плотность вероятности:

m2 (t1, t2 ) = m2 {[x(t1) − a][x(t2 ) − a]} = m2 {[x(t1 ) − a][x(t1 +τ) − a]} =

= ∞∫ ∞∫(x1 − a)(x2 − a) f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 =

−∞ −∞

= ∞∫ ∞∫ x1x2 f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 − a ∞∫ x2 ∞∫ f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 −

−∞ −∞ −∞ −∞

−a ∞∫ x2 ∞∫ f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 +a2 ∞∫ ∞∫ f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 =

−∞ −∞ −∞ −∞

= ∞∫ ∞∫ x1x2 f2 (x1, x2 , τ)dx1dx2 − a ∞∫ x2 f1(x2 )dx2 − a ∞∫ x1 f1(x)dx1 + a2 =

−∞ −∞ −∞ −∞

Здесь введено обозначение K (τ) для так называемой автокорреляцион-

ной функции (АКФ) стационарного случайного процесса, представляющей собой совокупность корреляционных моментов, найденных для различных

160

значений временного разноса τ . При исследовании корреляционных свойств случайного процесса интервал изменения величины τ обычно определяется промежутком от τ = 0 , где K (τ) = max и τ =τmax , где K (τ) ≈ 0. В точке τ = 0 второй смешанный центральный момент превращается в обычный второй центральный момент и значение автокорреляционной функции в этой точке определяется дисперсией случайного процесса:

Нормирование автокорреляционной функции (4.39) к её значению в нуле приводит к нормированной функции

имеющей значение единица в точке τ = 0 : K (0) =1. Поскольку статистиче-

ская зависимость между [x(t1 )] и x(t +τ) ослабевает при возрастании τ , то в пределе при τ → ∞, эти значения будут независимыми. Тогда математи-

ческое ожидание (4.39) произведение двух независимых случайных процессов будет равно нулю:

τ→∞

Всилу стационарности рассматриваемых процессов плотность распределения вероятности инвариантна относительно начала отсчета времени, что влечет за собой четность автокорреляционной функции:

Автокорреляционная функция суммы независимых случайных процессов, как это нетрудно показать, равна сумме автокорреляционных функций этих процессов. Пусть x(t) и y(t) представляют собой независимые ста-

ционарные процессы. Тогда

K (x + y)(τ) = [x(t) + y(t)][x(t +τ) + y(t +τ)] = = x(t)x(t +τ) + y(t)x(t +τ) + x(t) y(t +τ) +

161