1490

Набор значений функций Бесселя Jk (m) образует спектр ЧМ сигнала. Не-

трудно видеть, что спектр ЧМ сигнала с однотональным сообщением содержит в общем случае бесконечное число боковых колебаний cos(ω0 ±kΩ)t . Поскольку функции Бесселя с положительными и отрица-

тельными значениями порядка k связаны соотношением [31]

изменения фазы нечетных номеров нижних боковых колебаний на 1800 по сравнению с соответствующими верхними боковыми колебаниями был продемонстрирован выше для значений m <<1и m ≈1.

В таблице 6.1 приведены значения функций Бесселя различных порядков в зависимости от индекса модуляции [30]. Из этой таблицы следует, что с ростом индекса функции Бесселя увеличивается протяженность области аргументов, при которых значения функции (т.е спектральные коэффициенты) очень малы.

Таким образом, хотя с ростом индекса модуляции ширина полосы частот, занимаемая ЧМ сигналом, расширяется, но, начиная с некоторого номера k , значениями спектральных коэффициентов Jk (m) можно пренеб-

речь. Обычно принято пренебрегать спектральными коэффициентами, начиная с величины функции Бесселя k > m +1. Отсюда следует, что реаль-

262

Как правило, на практике индекс частотной модуляции удовлетворяет ус-

поскольку mЧМ = ∆ω/ Ω.

Таким образом, ЧМ сигнал занимает полосу частот, определяемую удвоенной величиной девиации частоты ∆ω .

6.3.6. Спектр фазо - манипулированного сигнала

Фазовая манипуляция радиосигналов представляет собой один из видов фазовой модуляции, при которой имеют место скачкообразные (мгновенные) изменения фазы радиосигнала в соответствии некоторым заданным правилом [7, 11] (например – предаваемым сообщением).

Рассмотрим закон изменения фазы при ее периодическом изменении, имеющим “прямоугольный” характер (рис 6.12). Внутри этого периода мо-

263

дуляции (см. рис 6.12а) изменение фазы описывается следующим условием:

a)

2ϕMAX δ (t )

в)

Рис. 6.12. Закон изменения фазы

Изменение частоты колебания ∆ω(t) , определяемое как

∆ω(t) = dϕ(t) / dt , имеет вид, показанный на рис. 6.12б. При этом величина

этих точках, как это следует из правил дифференциального исчисления, ∆ω(t) обращается в бесконечность, что, с точки зрения теории обобщен-

ных функций, соответствует знакопеременной последовательности дельта-

264

функций, умноженных на некоторый постоянный коэффициент γ . Коэф-

фициент γ определяется из условия совпадения интеграла от функции

∆ω(t) с заданным законом изменения фазы [11].

Так, для момента времени t =0 можно получить следующее условие:

T∫/ 2 δ (t )dt =1

−T / 2

следует, что γ = 2ϕMAX . Таким образом, в момент времени t = 0 изменение частоты должно быть представлено функцией 2ϕMAX δ(t) . В моменты вре-

мени t = ±T / 2 изменение частоты определяется как −2ϕMAX δ(t ±T / 2) .

Учитывая выражение (6.35), представляющее колебание с угловой модуляцией (в данном случае – с фазовой манипуляцией) в виде суммы квадратур

UФМ (t )= A0 cosϕ(t )cosω0t − A0 sinϕ(t )sinω0t,

напомним, что спектр сигнала UФМ (t) определяется спектрами функций cosϕ(t) , sinϕ(t) и определим эти спектры. Графики функций cosϕ(t) и sinϕ(t) изображены на рис. 6.12в.

Поскольку ϕ(t) есть нечетная функция времени, постоянная на интер-

валах 0 <t <T / 2 и −T / 2 < t < 0 , то cosϕ(t) = cos[−ϕ(t)]= cosϕMAX = const ,

а функция sinϕ(t) имеет вид прямоугольного периодического сигнала с амплитудой sinϕMAX .

Для выбранного на рис 6.12в начала отсчета функция sinϕMAX является нечетной и поэтому разложение данной функции в ряд Фурье содержит только коэффициенты bk (см. главу 1). Найдем эти коэффициенты в виде

265

Перенесем теперь спектры функций cosϕ(t) и sinϕ(t) на соответст-

вующие квадратурные составляющие cosω0t и sinω0t . Косинусную квад-

+13sin3Ωt sinω0t +15 sin 5Ωt sinω0t +...] =

=π4 A0 sinϕMAX 12 cos(ω0 −Ω)t − 12 cos(ω0 +Ω)t + 16 cos(ω0 −3Ω)t −16 cos(ω0 +3Ω)t +

266

Выражения (6.49) и (6.35) позволяют записать окончательную форму спектрального разложения фазо – манипулированного колебания:

когда полный скачок фазы равен π , а фазо – манипулированное колебание принимает вид, показанный на рис. 6.13

Как следует из этого рисунка, скачок фазы на 1800 происходит через каждую половину периода закона модуляции. При этом cosϕMAX = 0 , sinϕMAX =1 и выражение (6.50) для спектрального представления фазо-

манипулированного сигнала принимает вид

6.14. Кроме того, из выражения (6.51) следует, что спектральная амплитуда на частоте ω =ω0 равна нулю. Таким образом, при манипуляции фазы с полным скачком ϕ =π (ϕMAX = 0,5π ) несущая частота в спектре фазо – ма-

нипулированного колебания отсутствует.

267

так и по скорости. Проведенные исследования и разработки показали, что длительность радиолокационного сигнала может быть настолько велика, чтобы удовлетворить требования к разрешению по скорости, а высокое разрешение по дальности может быть при этом обеспечено за счет внутриимпульсной широкополосной модуляции (ЧМ или ФМ). Новый класс сигналов получил название «сложные сигналы». Использование данных сигналов позволяет обеспечить оптимальность радиолокационных систем, но эти вопросы не входят в круг интересов данного пособия.

6.4.1. Спектр радиосигнала с внутриимпульсной частотной модуляцией.

Рассмотрим спектральный состав прямоугольного радиоимпульса [1, 32, 33], обладающего значительной длительностью τИ , полагая при этом,

что частота его заполнения линейно нарастает во времени. Будем считать также, что начало координат t = 0 соответствует середине импульса (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Для определения математической модели радиосигнала U (t )= cos ψ (t )

с внутриимпульсной ЧМ необходимо определить закон изменения обоб-

щенной фазы ψ (t ) во времени. Для этого запишем закон линейного изме-

нения угловой частоты во времени как

269

представляет собой скорость изменения угловой частоты во времени. Максимальное изменение частоты за длительность импульса составляет

Используя математическую модель (6.55), запишем спектральную плот-

−τИ / 2

Спектральная плотность ЛЧМ импульса в области положительных частот описывается первым интегралом выражения (6.56). Вычислим этот интеграл. Для этого преобразуем показатель подынтегральной экспоненциальной функции и дополним его до полного квадрата:

270

Подставляя (6.57) в первый интеграл выражения (6.56), запишем спектральную плотность ЛЧМ импульса в области положительных частот как

Для вычисления интеграла выражении (6.58) воспользуемся заменой переменной в соответствии с выражением

откуда следует, что

При использовании данной замены переменных пределы интеграла (6.58) принимают вид

271