1490

Pi = mNi .

Тогда среднее арифметическое значение случайной величины можно записать в виде

i=1

т.е. как сумму произведений всех возможных значений случайной величины на частоты (вероятность) этих величин. При большом числе опытов ве-

личина M *[ X ] стремится к математическому ожиданию M[ X ]. Для не-

прерывной случайной величины математическое ожидание выражается интегралом

который соответствует выражению (4.18а). Необходимо отметить, что использованный выше ряд распределения является законом распределения случайной величины Х и даёт её полное статистическое описание.

Рассмотрим теперь задачу об определении математического ожидания функции случайной величины при заданном законе распределения аргумента. Для простоты рассмотрим одномерный случай.

Пусть имеется случайная величина Х с заданным законом распределения, а другая случайная величина Y связана с величиной Х взаимнооднозначной функциональной зависимостью Y = ϕ[ X ]. Необходимо опре-

делить математическое ожидание величины Y, не определяя её закона распределения,

Предположим, что Х есть дискретная случайная величина, характеризуемая рядом распределения

172

чайной величины не требуется знать закон распределения функции, а достаточно знать закон распределения аргумента.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции ϕ( X , Y ) от двух случайных величин

где f (x, y) – плотность распределения системы случайных величин (X, Y),

а также математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов

Здесь f (x1, x2 , ... xn ) – плотность распределения системы случайных величин

( X1, X 2 , ... Xn ) .

Аналогично изложенному может быть найдена дисперсия функции случайного аргумента (или аргументов). Так, дисперсия функции одного случайного аргумента определяется как

Дисперсия функции двух случайных аргументов и дисперсия функции произвольного числа случайных аргументов определяются в соответствен-

D[ϕ( X1, X 2 ,.. X n )] =

174

4.7.2.Характеристическая функция и её свойства

Вприложениях методов теории вероятностей к задачам анализа радиотехнических сигналов большое значение имеет специальная форма функционального преобразования случайной величины Х:

где v есть некоторый вещественный параметр. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины η, представляющей собой функ-

цию случайной величины Х, называется характеристической функцией случайной величины Х. Используя выражение (4.61а) для среднего значения функции случайной величины, определим характеристическую функцию в виде

где f1(x) есть плотность распределения случайного аргумента Х. Из выра-

жения (4.64а) следует, что характеристическая функция S(v) и плотность вероятности f1(x) являются сопряженными по Фурье функциями, т.е.

Нетрудно видеть, что модуль характеристической функции определяется как

175

поскольку модуль | exp( jvx)|=1. Отсюда следует, что интеграл (4.64а) схо-

дится. Поэтому характеристическая функция может быть определена для любой случайной величины. При v → ±∞ характеристическая функция стремится к нулю, а в точке v = 0 характеристическая функция равна единице

S (v = 0)= ∞∫ f1(x)dx =1.

−∞

При замене величины ν на отрицательную величину, характеристическая функция становится комплексно-сопряженной

S(−v) = ∞∫ f1 (x)exp(− jvx)dx =[ ∞∫ f1 (x)exp( jvx)dx]* = S* (v).

Для симметричных (чётных) распределений характеристическая функция представляет собой косинус – преобразование Фурье, что следует из выражения (4.64б).

Рассмотрим несколько примеров определения характеристических функций для различных видов плотности вероятности

Равномерное распределение.

Зададим равномерную плотность вероятности на интервале −a < α < a как f1(x) =1/ 2a . Тогда

176

Дополним выражение в показателе экспоненты до полного квадрата; для чего перепишем его в виде

Введем замену переменных

z = x σ− a −iσv , dx = σdz

и перепишем выражение (4.68) как

177

Поскольку функция exp(−0.5z2 ) является аналитической, то

Таким образом, характеристическая функция случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид

4.7.3. Использование характеристической функции для вычисления моментов распределения

Использование характеристической функции позволяет упростить выполнение целого ряда операций определения вероятностных характеристик, в частности, вычисление моментов распределения [9, 19] . Предполагая, что характеристическая функция (4.64а) обладает производной порядка k, найдем эту производную:

рядка k распределения случайной величины Х соотношением

Таким образом, начальные моменты распределения случайной величины могут быть определены в виде

178

Центральные моменты распределения связаны простыми отношениями с производными от логарифма характеристической функции ψ(v) = log S(v) , называемого кумулянтной функцией. Разлагая кумулянт-

ную функцию в степенной ряд

можно доказать что величины λm , которые называются кумулянтами (или семиинвариантами), связаны с моментами распределения следующим образом

λ1 = x , λ2 = µ2 = σ2 , λ3 = µ3 (асимметрия), λ4 = µ4 −3µ2 (эксцесс)

4.7.4.Энергетический спектр как плотность вероятности

Вподразделе 4.6 было отмечено, что энергетический спектр G(ω) пред-

ставляет собой положительно определенную функцию G(ω) ≥ 0 , поскольку мощность не может принимать отрицательных значений, а интеграл от энергетического спектра определяет полную энергию процесса

1 ∞∫G(ω)dω = K (0)=σ 2 < ∞.

2π −∞

Обратим теперь внимание на тот факт, что основными свойствами функции плотности вероятности является её неотрицательность f (x) ≥ 0 и

равенство интеграла от этой функции единице (условие нормировки)

∞∫ f (x)dx =1.

−∞

Таким образом, за исключением нормирующего коэффициента

K (0) =σ 2 , энергетический спектр обладает свойствами плотности вероят-

ности. Упомянутую нормировку нетрудно ввести:

179

Нормированная функция GN (ω) может быть рассмотрена как плотность

вероятности случайной величины ω [20]. Рассмотрение частоты ω в качестве случайной величины имеет непосредственную физическую интерпретацию: функция f 1(ω)dω представляет вероятность того, что случайный процесс x(t) обладает средней мощностью GN (ω)dω в полосе частот

(ω,ω + dω). Из соотношения (4.74) или из теоремы Винера-Хинчина сле-

дует, что не всякая симметричная функция может быть автокорреляционной функцией, так как всегда необходимо чтобы преобразование Фурье этой функции приводило к энергетическому спектру, никогда не принимающему отрицательных значений.

Перепишем теперь выражение (4.54б)

где GN (ω) – нормированный энергетический спектр, представляющий собой плотность вероятности. Сравнивая выражение (4.75) с соотношением (4.64а), определяющим характеристическую функцию, видим, что нормированная корреляционная функция R(τ) есть не что иное, как характе-

ристическая функция случайной величины ω .

180

4.7.5. Спектральные моменты

Поскольку нормированный энергетический спектр GN (ω) и нормиро-

ванная автокорреляционная функция R(τ) представляют собой плотность

вероятности и характеристическую функцию случайной величины ω соответственно, то возникает мысль об использовании функции R(τ) для опре-

деления моментов энергетического спектра GN (ω) по аналогии с исполь-

зованием характеристической функции S(v) для определения моментов плотности вероятностей f (x) [20].

В предыдущем подразделе было показано, что начальные моменты плотности распределения случайной величины Х порядка k определяются производными того же порядка от характеристической функции этой случайной величины (см. выражение (4.72)). Однако простая аналогия может не иметь место и поэтому необходимо прежде всего рассмотреть вопрос о дифференцировании случайного процесса x(t) и об определении корреля-

ционной функции его производной.

Случайный процесс x(t) является дифференцируемым в точке t в сред-

неквадратическом, если существует такая случайная функция dx(t) / dt , на-

случайного процесса x(t) рассмотрим прежде всего простейшие вероятно-

стные характеристики разности двух значений случайного процесса x(t) ,

разнесённых на интервал ∆t :

x∆t (t) = x(t + ∆t )− x(t ).

181