2192

Окончание табл. 6.2

1

2

3

4

С

1 = 2,8 рад/с;

VA = ?

VB = ?

ОА = 0,30 м;

29

VC = ?

и

АВ = 0,60 м;

2

= ?

АС = 0,30 м

= ?

3

ОА

VA = ?

б

= 2,2 рад/с;

VB = ?

30

1

VC = ?

= 0,50 м;

С = 0,30 м

2

= ?

= ?

3

Д

И

7.1. Методические рекомендации к выполнению расчетно-

С

графической (контрольной) работы

Задачи д нам ки точки делятся на две большие группы:

1.

Задачи, в которых по заданному закону движения точки находятся

произвол

действующ е на нее с лы.

2.

Задачи, в которых по заданным силам, действующим на точку,

определяется ее закон дв

жения.

Первая группа задач решается в такой последовательности:

1.

Выбрать с стему координат, если она не указана в условии задачи.

2.

б

материальную

точку в

Изобраз ть на

расчетной

схеме

ьном положен

и активные силы, действующие на точку.

3.

Освобод ться от связей, наложенных на материальную точку,

заменив х реакц ями связей и показать их на расчетной схеме.

4.

Определить по заданному закону движения проекции ускорения на

оси координат.

5.

Составить дифференциальные уравнения движения материальной

точки в проекциях на оси координат.

6.

Из системы дифференциальных уравнений определить искомую

величину.

Вторая группа задачАрешается в такой последовательности:

в условии

1.

Изобразить систему координат,

если

она не указана

задачи

2.

Изобразить на расчетной схеме материальную точку в

произвольном положении и активные силы, действующие на точку.

3.

Освободиться от связей Д(в случае несвободной материальной

точки), наложенных на материальную точку, заменив их реакциями связей

и показать их на расчетной схеме.

4.

Составить дифференциальные уравнения движения материальной

точки в проекциях на оси координат.

И

5.

Записать начальные условия движения.

6.

Найти общее решение дифференциальных уравнений движения.

7.

Определить постоянные интегрирования, используя начальные

условия.

8.

Подставив постоянные интегрирования в общее решение,

определяем закон движения точки.

7.2. Пример выполнения расчетно-графической (контрольной) работы

«Интегрирование дифференциальных уравнений движения

С

материальной точки»

составляющему угол α=15° с горизонтом (рис. 1).

точки

Дл на участка АВ=l,

скорость в точке А VA=0, коэффициент трения

скольжен я матер альной

М о наклонную плоскость f=0,1.

mx1

Fix ;

(1)

Fiy .

(2)

my1

ила трения, по закону Кулона,

С

F=fN.

(3)

Используя рис. 1, из формулы (1) найдем

(4)

mx1 G sin F .

Из (2) получ м

0 = N– G cosα,

откуда

N = Gcosα.

Подстав м (3) в (1): mx1 G sin fG cos

2

или

x1

g(sin f cos ) .

Интегр руем д фференциальное

уравнение

дважды,

применяя

неопределенные нтегралы:

б

(5)

x1

g(sin f

cos ) t C1;

x

g(sin f cos ) t 2

C t C

2

.

(6)

1

1

Для определен я постоянных интегрирования С1, С2 используем

начальные услов я для участка AВ: при t 0 x0

0 ;

x0 0 .

Аt

описываться уравнениями

Д

(7)

x1 g(sin f

cos ) t;

x1 g(sin f cos )

2

.

(8)

2

По условию задачи, нас интересуют параметры движения

материальной точки в конце участка АВ, поэтому, подставив в уравнения

(7), (8) конечные условия (t=τ; х1=l; x1 VВ), получим

VB g(sin f cos )τ;

(9)

l g(sin

f cos )

τ

2

.

(10)

2

Полученные уравнения (9), (10) представляют собой разрешаемую

систему уравнений, связывающую основные параметрыИдвижения, однако

найти Т и VB пока не удается. Поэтому рассмотрим движение

материальной точки по второму участку ВС. Для участка ВС принимаем

новую систему координат xy, поместив ее начало в точке В. Принимаем

новое начало отсчета времени по участку BC t=0.

Учитывая силу G , действующую на материальную точку на участке

ВС, составим дифференциальные уравнения mх 0;

my G.

Окончательно имеем

х 0;

y g.

Выполняем

интегрирование

полученных

дифференциальных

уравнений дважды при помощи неопределенных интегралов

;

gt

C5 ;

х=С3t+C4;

y g

t 2

C5t C6 .

х C3

y

2

С

Начальные условия для участка ВС: при f=0

x0=0;

y0=0;

х0 VB cos ;

y0 VB sin .

Подставляя начальные условия в полученные первые и вторые

интегралы, найдем постоянные интегрирования:

3=VBcosα; C4 =0;

C5= VB sin ;

C6=0.

уравнения

Окончательно получим первые и вторые интегралы, являющиеся

уравнен ями проекц

скоростей

и

координат

движения материальной

точки по участку ВС:

gt 2

VB sin ;

х VB cos t ;

y

VB sin t .

х VB cos ;

y gt

2

В полученные

y – h;

подставляем условия для конца участка:

при t T

меем

x=d;

х VCx

; y VCy .

Для

момента

времени

t T

получаем

следующую

систему

уравнений:

АB

бV V

B

cos ;

(11)

Cx

VCy gT VB sin ;

(12)

d VB cos T ;

(13)

Д2

h

gT

2

V sin T .

(14)

2

Уравнения (13), (14) содержат искомые неизвестные VB и T .

з (13)

выразим

VB

d

.

И

T cos

Подставляя выражение для VB в (14), найдем T

(h d tg ) .

g

Учитывая, что h 30

2 , найдем Т =2,5 с; VB = 17,6 м/c.

Результаты решения задачи позволяют найти уравнение траектории

движения материальной точки М по участку ВС. Для этого необходимо

исключить время t из уравнения траектории.

Выполнив указанные действия, найдем

y

gx2

x tg .

2VB2 cos2

течение τ секунд. Его начальная скорость

VA. Коэффициент трения

Д

скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидаетАплоскость со скоростью VB и попадает со

скоростью VC в точку С участка BC, наклоненного под углом β к

горизонту, находясь в воздухе Т секунд.

При решении задачи тело принять за материальную точку;

сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α = 30

о

; VA = 0; f = 0,2; l = 10 м; β = 60

о

. Определить τ

и h.

Вариант 3. Дано: α = 30

о

о

; VA = 2,5 м/с; f ≠ 0;Иl = 8 м; d = 10 м; β = 60 .

Определить VB и τ.

С

иРис. 3

Тело совершает поступательное движение и подходит к точке А

АВ

участка АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l со

скоростью VбA. Коэффициент трения скольжения на участке АВ равен f.

Тело от точки А до точки движется τ секунд; в точке В со скоростью VB

оно покидает участок

.

Определить l и VC.

Вариант 7. Дано: α = 15о; f =Д0,1; VA = 16 м/с; l = 5 м; β = 45о.

Определить VB и T.

Вариант 8. Дано: VA = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; VB = 20 м/с; β = 60о.

Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α = 15

о

о

; τ = 0,3 с; f = 0,1;Иh = 30 2 м; β = 45 .

Определить VB и VA.

приземляясь в точке С со скоростью VC. Масса тела равна m.

Д

При решении задачи считать тело материальной точкой и не

учитывать силы сопротивленияАдвижению.

Вариант 11. Дано: α = 30о; Р ≠ 0; l = 40 м; VA = 0; VB = 4,5 м/с;

d = 3

м. Определить τ и h.

Вариант 12. Дано: α = 30о; Р = 0; l = 40 м; VB = 4,5 м/с; h = 1,5 м.

Определить VA и d.

И

Вариант 13. Дано: α = 30о; m = 400 кг; VA = 0; τ = 20 с; d = 3 м;

h =

1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30о; m = 400 кг; Р = 2,2 кН; VA = 0; l =40 м; d

= 5 м. Определить VB и VС.

Вариант 15. Дано: α = 30о; VA = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2м;

d = 4

м. Определить Т и m.

С

и

б

АВ

Рис. 6

Тело движется из точки

по участку

(длиной l) наклонной

плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость VA.

Д

уравнение траектории (Y = f(X) = ?) на участке ВС в системе отсчёта XВY.

Вариант 23.

Дано: f = 0; VA = 0; l = 9,81Им; τ = 2 с; h = 20 м.

Определить α и Т.

Вариант 24.

Дано:VA

=

0;

α =

30о;

f

=

0,2;

l

=

10

м;

d

=

12

м.

Определить τ и h.

Вариант 25.

Дано: VA

=

0;

α =

30о;

f

=

0,2;

l

=

6

м;

h

=

4,5

м.