2192

n

0 ;

n

0 ;

n

М

(3.10)

F

F

(F ) 0.

i 1 ix

i 1 iy

i 1

O

i

С

сил в первой форме.

иначе

Уравнен я равновес я плоской системы сил можно сформулировать

: для равновес я плоской системы сил, приложенных к твердому

телу, необход

мо

достаточно,

чтобы суммы алгебраических моментов

сил относ тельно двух лю ых точек и алгебраическая сумма проекций

этих с л на ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей

через две моментные точки,

ыли равны нулю, т.е.

n

n

n

М

(F ) 0 ;

М

(F ) 0 ;

F

0 ,

(3.11)

i 1

А

i

i 1

В

i

i 1 iх

где за ось Оx пр нята лю ая прямая, не перпендикулярная АВ.

А

Уравнения (3.11) представляют вторую форму записи уравнений

равновесия бплоской произвольной системы сил.

Возможна третья форма записи уравнений равновесия.

М

(F ) 0 ;

М

(F ) 0 ;

(F ) 0.

i 1

А

i

i 1

В

i

i 1

С

i

Уравнения

(3.12)

являются

Дтретьей формой записи уравнений

равновесия плоской произвольной системы сил.

твердому телу, необходимо и достаточно,

чтобы суммы алгебраических

И

моментов сил относительно двух любых точек были равны нулю, т.е.

n

М

n

М

(3.13)

(F ) 0 ;

(F ) 0 .

i 1

А

i

i 1

В

i

системы параллельных сил опорную реакцию

RA определим из уравнения

Д

n

P(l l1)

.

i 1

l

Реакцию RB определим из уравнения проекций сил на вертикальную

ось

И

n

Fiy 0 ; P RA RB 0 ;

RB P RA .

Пространственная

система

параллельных сил не приводится к динаме,

так как для нее главный вектор и главный

момент

в

общем

случае

взаимно

С

перпендикулярны. Для доказательства этого

рассмотрим

систему

параллельных с л, для которой главный

вектор

главный момент не равны нулю.

координат

Выберем за центр приведения точку О – начало декартовой системы

, ось Оz которой направим параллельно силам (рис. 3.6). Тогда

проекц

главного вектора на оси координат Ox, Oy являются тождествами

б

n

Rx

n

Fix 0 ;

Ry Fiy 0,

i 1

i 1

так как параллельные силы перпендикулярны этим осям. Проекция

в о щем случае не равна нулю. Она равна

алгебраической сумме параллельных сил, т.е.

Rz

n

n

Fiz

Fi

0.

i n

i 1

Следовательно,

главный вектор

R параллелен оси Оz. Для проекций

Д

главного момента на оси координат имеем

n

Мх(Fi ) 0 ;

n

n

Мx

Мy Му(Fi ) 0;

Мz Мz (Fi ) 0 .

i 1

i 1

i n

равна нулю, так как каждая

И

Для

системы

параллельных сил

имеем другие

частные

случаи

;

0 0

– система

приводится

к

паре сил;

или

0 –

система приводится к

силе; R

0 ;

M 0

0 – имеем уравновешенную систему сил.

В имеет неподвижную ось вращения,

проходящую через эти точки. Пусть тело

С

находится в равновесии под действием

приложенных сил (F1, F2 ,...., Fn ) . Освободим

тело от связей, пр лож в в опорах А и В силы

реакции

RA

RB .

Эти

силы разложим

на

уравнений

составляющ е, параллельные осям

можем состав ть 6

равновесия сил.

б

Обознач в АВ через h (рис. 3.7),

n

X B 0 ;

n

Fix X A

M x (Fi ) YBh 0 ;

i 1

i 1

n

n

Fiy YA

YB 0 ;

M y (Fi ) X B h 0;

i 1

i 1

n

n

Fiz Z A

0 ;

M z (Fi ) 0 .

i 1

i 1

Д

Имеем для тела 6 уравнений равновесия и 5 неизвестных величин.

Одно из полученныхАуравнений является условием вращения тела. В

рассматриваемом случае тело имеет одну степень свободы, оно может

вращаться вокруг оси Оz (ось В). Приложенные силы удовлетворяют

одному условию равновесия. Сумма моментов заданных сил относительно

оси Оz обращается в нуль.

Тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Оно,

например, может вращаться вокруг каждой из трех осей координат,

И

Если твердое тело с одной

закрепленной точкой А, принимаемой за

шаровой

шарнир,

освободить

от

этой

связи, то для составляющих сил реакций

связи X A

, YA , Z A и приложенных к телу

сил (F1

, F2 ,...., Fn )

можно

составить

следующие шесть уравнений (рис. 3.8):

С

n

X A

n

Fix

0 ;

M x (Fi ) 0;

i 1

i 1

n

YA

n

Fiy

0 ;

M y (Fi ) 0 ;

б

n

Z

0 ;

n

F

A

M

z

(F ) 0 .

i 1

i

i 1

Материальная точка может рассматриваться как модель твердого

тела, совершающего поступательные движения, когда размеры твердого

С

В

разделе

«Кинематика»

изучают

характер ст ки

механ ческого

движения

материальных

точек

тел,

которыми

являются траектор

,

,

ускорения

и

методы х

определения при

разных

б

случаях задан я дв

жен

я.

Дв жен е матер альных о ъектов рассматривают в плоскости или

пространствескорости; спользуют эвклидово трехмерное пространство и

различные с стемы координат: правую декартову прямоугольную систему

координат Oxyz (р с. 41.1), цилиндрическую систему координат ρ, φ, z и

ТИКА

r,

θ, φ (радиус-вектор, широта и долгота),

полярную систему координат ρ, φ в плоскости, а также другие системы

координат. Основными разделами кинематики являются: кинематика

Д

4. КИНЕМ

ТОЧКИ

4.1. Способы задания движения точки

Движение

точки

системе

И

отсчета можно определить положение точки в любой момент времени.

Движение точки можно задавать разными способами. Рассмотрим

основные из них.

4.1.1. Векторный способ задания движения точки

При векторном способе задания движения положение точки на

траектории определяют концом радиуса-вектора r , проведенного из

некоторой неподвижной точки О:

r r( t ) .

(4.1)

r i х jy kz,

(4.2)

у= f2(t); z= f3(t).

(4.3)

СУравнен я (4.3) представляют

собой уравнен я дв жения точки в

прямоугольной

системе

координат, они позволяют для каждого

момента времени указать положение

точкив выбранной с стеме Oxyz.

Поэтому уравнен я (4.3) являются также и уравнениями траектории

точки, заданными параметрически. Для получения явного вида уравнения

траектории бследует получить уравнение f(х,у,z)=0, в котором отсутствует

время t. Уравнение (4.2) связывает векторный и координатный способы

задания движения точки.

Д

Пример 1.

Движение точки задано в векторной форме уравнением

Решение. Исключим из уравнения движения параметр t. з первого

уравнения находим t

x

И

и, подставляя это значение t во второе уравнение,

2

получаем y=2x2.

С

парабола, а только правая её ветвь.

4.1.3. Естественный способ задания движения точки

Пусть точка дв жется

по заданной криволинейной траектории. При

естественном спосо

начало

направлен е

отсчёта дуговой координаты s, которая

начала отсчета.

по траектор

нео ходимо вы рать

на

заданной траектор

точку О, принимаемую

А

рассматривается

как

координата,

отсчитываемая

по

Д

криволинейной

траектории. Зависимость

s s(t)

(4.4)

s(t) t

Vdt ,

(4.5)

где V – скорость точки.

0

Здесь s(0) 0;

dx xdt;

dy ydt;

dz zdt.

выражается, согласно теореме Пифагора (рис. 4.5),

ds

dx2 dy2 ,

(4.6)

и после

нтегр рован я – в конечной форме

t

2

2

t

(t)

0

dt

0 Vdt.

(4.7)

x

y

С

будет выч сляться по формуле

t

t

Vdt.

(4.8)

(t) xdt

0

0

При

4.2. Скорость

ускорение точки при векторном способе

задания движения

б

4.2.1.Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является её

скорость относительно выбранной системы отсчёта, которая изображена в

А

виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 4.6).

рассматриваемой

системе

отсчёта

определяется в момент времени t

радиусом-

вектором

r ,

который

соединяет

Д

неподвижную точку О с этой точкой. В

И

другой

момент

времени

t1 t t

движущаяся точка займёт положение M1 и её

радиусом-вектором будет r1 . За время ∆t

радиус-вектор движущейся точки изменится

на r

r1 r.

Vср

Средней

скоростью

точки за

время

∆t называют отношение

V

r

. Средняя скорость совпадает с вектором r . В общем случае она

ср

t

осреднения ∆t.

зависит

от времени

Введём

понятие действительной

средняя скорость, стремится к нулю, т.е. V lim

r

dr .

t 0

t

dt

Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от

если их начала совместить в одной общей точке (рис. 4.7).

Для

например О (рис. 4.7,б), и начала векторов скорости для различных

моментов времени помещают в эту точку, не изменяя их направлений.

Каждой точке М траектории (рис. 4.7,а) соответствует своя изображающая

точка АМ

скоростей при построении годографа вектора скоростиИможет быть выбран

отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории.

При движении точки М по траектории соответствующая ей изображающая

точка АМi