2192

С

и

Рис. 7

Имея в точке А скорость

VA, тело движется по горизонтальному

б

участку АВ длиной l в течение τ секунд. Коэффициент трения скольжения

При решении задачи принять тело за материальную точку;

А

сопротивление воздуха не учитывать.

и d.

Вариант 26. Дано: VA = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить VC

Вариант 27. Дано: VA = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2 c; d = 2 м. Определить VB и

h.

Д

И

С

8.1. Методические рекомендации к выполнению расчетно-

графической (контрольной) работы

Д фференц альная форма теоремы об изменении кинетической

другими

используется

для

составления

энергии

механ ческой

системы

дифференц ального уравнения движения систем с одной степенью

свободы , в частности, для нахождения ускорения движущихся тел. Эта

форма может также

спользоваться для составления дифференциальных

уравнен й дв жен я с стем с несколькими степенями свободы совместно

с

об

общ ми теоремами динамики.

Конечная

форма

теоремы

изменении

кинетической

энергии

механической

с стемы

позволяет получить

первый

интеграл

дифференц альных уравнений движения в тех

случаях,

когда можно

9. Задать начальные условия движения механической системы.

С

10.

Найти общее решение дифференциального уравнения движения.

11.

Определить по начальным условиям постоянные интегрирования.

12.

Подстав ть значения постоянных интегрирования в общее

решен е

д фференц ального уравнения, найти закон движения

Найти

механической с стемы.

Теорема об зменен и кинетической энергии механической системы в

конечной (

нтегральной форме) применяется, например, к решению задач

8.2. Пример выполнения расчетно-графической (контрольной)

работы «Применение теоремы об изменении кинетической энергии

С

к расчету движения механической системы»

Механ ческая с стема под действием сил тяжести приходит в

движен е

з состоян я покоя, начальное положение системы показано на

. 1.

рис

б

А

Д

Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами

сопротивления и массами нерастяжимых нитей, определить скорость тела

И

1 в тот момент, когда пройденный им путь будет равен s.

Дано: m1 m ;

m2 m 3; m3

2

m ;

m4

4 m ;

R2 26 см; r2 0,5R2 ;

10

3

R3 20 см; r3

0,5R3 ; i2x 20 см и

i3x

18 см – радиусы инерции тел;

300 ; f

0,1; s 2 м.

n

n

T T0 Aie Aii .

i 1

i 1

изобраз м с стему в конечном положении, определяемом перемещением s

груза 1, углами поворота шкивов φ2 , φ3 и перемещениями sС , h4 (см. рис.1).

скорости

скоростями

и

Зап шем к немат ческие соотношения между

Сперемещен ями точек системы, то есть уравнения связей, при этом

перемещен я выразим соответственно через

скорость V1

и

перемещен е s груза 1.

работ

Эти соотношен я запишем в форме таблицу для расчета кинетических

энергий Т

А согласно кинематической схеме.

Таблица 8.1

Та лица результатов расчета

А2

2

T f (V12 )

A f

(s)

2

V1

2

s

R2

R

2

Д

V

r

V1 r2 V1

s

к

2

r

s

r2

s

к

2 2

R

2

2

R

2

Vk

V1

sk

s

3

R3 r3

6r3

3

R3 r3

6r3

V r V1

s

r

s

C

3

3

И

6

6

V

V

V1

h

s

s

4

С

6

4

C

6

Кинематическое передаточное число системы i

s

V1 6

h

V

4

4

J

2

2

m

i2

V 2

T

2

2

2x

1

.

2

2

2 R

2

2

К нет ческая энерг я шкива 3, совершающего плоское движение:

m V 2

J

2

m V

2

m i2 V

2

T

3 C

3 3

3 1

3 3x

1

.

3

2

2

2 36

2 36r

2

С

3

К нет ческая энерг я груза 4, связанного с движущимся центром С

m V 2

m

4

V 2

3 совершающего поступательное движение: T

4 4

1

.

шкива

4

2

2 36

К нет ческую энерг ю всей механической системы запишем в общем

виде,

выраз

в

все

скорости

через

V

2 ,

все

массы через

m,

полученное

1

2 .

постоянное число о означим K1:

T K

1

m V

1

б

Для расчета суммы ра от покажем все силы: G1 , G2 , G3 , G4 , FTP , N .

Реакция поверхности

N перпендикулярна перемещению s и работу не

совершает. Сила G2

приложена к неподвижной точке О и работу также не

совершает.

e

А

Тогда

Ai

AG1 AF

AG3

AG4 ;

ТР

AF

FTP s N f s m1g cos f s,

ТР

s

s

где

AG3 G3

hC m3 g

;

AG4

G4 h4

m4 g

.

6

6

Запишем

Ae

в общем

Д

m, и

виде,

выразив

все

массы

через

i

полученное постоянное число обозначим K2:

Ae

K

2

m.

i

Приравняем, по

теореме

об

изменении

кинетической

энергии

И

системы:

T Ae

или

K

mV 2

K

2

m ,

откуда V

K2

.

i

1

1

1

K1

S 1.

пр няты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы

В задан

С

тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых окружностей; iС2X2,

i 3X3, i 4X4 –

рад усы нерции ступенчатых колёс 2. 3 и 4 относительно

горизонтальных осей, проходящих через их центры масс; α, β – углы

наклона плоскостей к гор зонту; f – коэффициент трения скольжения.

Расчётные схемы

и необходимые для решения данные

механизмов

приведены в

. 8.2. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в

таблице не указаны, сч тать сплошными однородными дисками.

Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным

плоскостям.

табл

Примечания к вариантам.

Вариант

4 – массами звеньев

В, ВС3 и ползуна В пренебречь.

Вариант

5 – массой водила 5 пренебречь.

Вариант

14

А

– массы каждого из четырёх колес одинаковы.

Вариант

16

– массой водила 5 пренебречь.

Вариант 17 – шатун 3 рассматривать как тонкий однородный

стержень.

Д

Вариант

18

– массой водила 4 пренебречь.

Вариант

20

– массами звеньев АВ, ВС3 и ползуна В пренебречь.

Вариант

22

– массой водила 4 пренебречь.

Вариант

24

– массами звеньев АВ, ВС3 и ползуна В пренебречь.

Вариант

25

– массой водила пренебречь.

И

Таблица 8.2

Номер

Расчётная схема механизма

Исходные данные

вариан

та

1

2

3

и

m1 = m кг;

m2 = 4·m кг;

m3 = m/5 кг;

1

m4 = 4·m/3 кг;

С

α = 60о;

б

f = 0,1;

SС1 = 2 м

m1 = m кг;

m2 = m/2 кг;

m3 = m/3 кг;

R3 = 30 см;

2

r3 = (2/3)·R3;

iC3X3 = 20 см;

Д

А

α = 30о;

β = 45о;

f = 0,22;

SС1 = 2 м

И

m1 = m кг;

m2 = m кг;

m3 = m/10 кг;

3

m4 = m кг;

α = 45

о

;

f = 0,10;

SС1 = 2 м

Продолжение табл. 8.2

1

2

3

m1 = m кг;

m2 = 2·m кг;

m3 = 40·m кг;

и

m4 = m кг;

R2 = 20 см;

4

AB = 5·R2;

С

R3 = 40 см;

r2 = 0,5·R2;

R4 = r2;

iC2X2 = 18 см;

SС1 = 0,1·π м

б

m1 = m кг;

m2 = 2·m кг;

m3 = m кг;

R3 = 20 см;

5

R2 = 20 см;

r2 = 0,8·R2;

Д

А

iC2X2 = 18 см;

α = 60о;

f = 0,12;

SС1 = 0,28·π м

m1 = m кг;

m2 = 3·m кг;

m3 = m кг;

6

ИR3 = 28 см;

α = 30о;

β = 45о;

f = 0,10;

SС1 = 1,5 м

Продолжение табл. 8.2

1

2

3

С

m1 = m кг;

m2 = 2·m кг;

m3 = 2·m кг;

7

R2 = 16 см;

r2

= (3/4)·R2;

и

R3 = 25 см;

б

iC2X2 = 14 см;

α = 30о;

SС1 = 2 м

А

m1 = m кг;

m2 = m/2 кг;

m3 = m/3 кг;

8

R3 = 30 см;

α = 30о;

Д

β = 45о;

f = 0,15;

SС1 = 1,75 м

И3 3

m1 = m кг;

m2 = 2·m кг;

m3 = 9·m кг;

9

R3 = 30 см;

r

= 0,5·R ;

iC3X3 = 20 см;

α = 30о;

f = 0,12;

SС1 = 1,5 м