2192

С

и

б

А

Д

Рис. 9.2

И

t

2

a g ;

dx

g ;

C1 ; x g

C1t C2 .

mx

mg ; x

dt

x gt

2

С2=0.

Получен од наковый результат решения задачи при разных исходных

постоянным

ускорением

a ,

В рассмотренной задаче сила инерции Ф математически заменяется

Сем массы тела на ускорение и никаких дополнительных сил,

б

9.2.2. Опускание кабины лифта

x0 0 . Векторные уравнения динамики, по Ньютону и Даламберу, имеют

различную математическую форму записи и разное физическое

содержание.

При помощи основного уравнения динамики получаем

mx mg N ; ma

Д

С помощью принципаАДаламбера запишем уравнение проекций сил на

Полученные результаты показывают, что в рассмотренной задаче в

основном уравнении динамики и в принципе аламбера сила инерции Ф

И

является реальной силой, т.к. нормальная сила равна разности сил тяжести

и инерции.

При N=0 получаем явление невесомости, при котором сила тяжести

G

уравновешена силой инерции Ф. Сила инерции Ф в данном примере

является силой противодействия приложенным силам G N .

9.2.3. Движение тела по наклонной плоскости под действием силы,

пропорциональной времени

Тело движется по гладкой наклонной плоскости. Сила F kt , угол

наклонной плоскости ; при t=0

x0 0 ;

x0 0 . Определить уравнения

С

mx mg sin kt ; x g sin m t ;

k t 2

t 2

k t3

С1; x g sin

С1t C2 .

x g sin t

m 2

2

m 6

В данном случае с ла инерции Ф является силой противодействия

силам P F N .

Тело массой m, пр нимаемое за материальную точку М, вращается в

плоскости вокруг вертикальной оси на стержне длиной

И

является реальной единственной действующей силой, создающей

по

Даламберу, Ф T .

T mr 2 ;

Т=Ф.

При условии const сила инерции Ф и реакция связи Т находятся в

стационарном равновесии.

Векторные уравнения (9.6) выражают сущность принципа Даламбера:

б

силой инерции образуют уравновешенную систему сил для каждой точки

системы.

А

Принцип Даламбера для системы

по своему содержанию не отличается

от уравнений движения всех её точек.

Представим равнодействующую

силу,

приложенную к каждой точке системы,

разложенную не на активную силу и

внешнюю силы по отношению ко всей

системе (рис. 9.3):

Рис. 9.3

F R

F e F i .

k

k

k

k

Тогда принцип Даламбера для системы можноИпредставить в другой

форме:

F e

F i

Ф

0 .

(9.7)

k

k

k

n

n

n

(9.8)

F

R

Ф 0 .

k 1

k

k 1

k

k 1

k

Умножая векторно каждое из соотношений (9.6) слева на радиус-

вектор точки rk

и опять суммируя по точкам системы, получаем

n

n

n

rk

Fk

rk

Rk

rk

Фk 0

или

С

k 1

n

n

n

M 0

Fk

M

0 Rk

M

0 Фk 0 .

(9.9)

k 1

k 1

k 1

Векторные уравнения (9.8), (9.9) позволяют получить путем

статике

шесть уравнений

равновесия,

проецирован я

на

оси

координат

(9.7), то

бi i

n

n

0;

(9.10)

F e

Ф

k 1

k

k 1

k

n

n

M 0

Fke

M

0 Фk 0 ,

(9.11)

А

k 1

k 1

т.к. внутренние

силы

системы

по

свойству этих сил

удовлетворяют

условиям

n

0;

n

0 .

F

M

0

F

k 1

k

k 1

k

Если спроецировать уравнения (9.10) и (9.11) на координатные оси, то

опять получим

шесть

Особенностью

Д

уравнений равновесия сил в форме (9.10), (9.11) является отсутствие в них

внутренних сил, что делает их особенно удобными при решении многих

момент

виду

F e Ф 0;

И

M 0e M 0Ф 0.

откуда следует:

в любой момент времени для движущейся механической

С

системы суммы главных векторов внешних сил и сил инерции или их проекции

на оси, а также сумма главных моментов внешних сил и моментов сил инерции

Так м образом, все инерционные воздействия на механическую

систему

ли твёрдое тело

можно

заменить

одной

силой, равной Ф и

инерции

О, и парой сил с моментом, равным

приложенной в центре приведения

Ф

системы

M 0 . Главный вектор с л

d

2

d

2

Ф Ф m a

m

rk

m r ,

б

dt 2

k k

r

k

k k

k

dt 2

но m

mr , где m – масса системы; r

– радиус-вектор центра масс.

k k

c

c

Следовательно,

Ф mac .

(9.13)

Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы

на ускорение центра масс и направлен в сторону, противоположную ускорению.

Д

Главный вектор сил инерции точек твёрдого тела при любом его

ля

определения главного

M

Ф

m

m

0 ,

C

r

Ф

r

k

a

k

r

a

mr a

поскольку

k

k

k

k k

Иk C C

r

0 .

Инерционные

воздействия

на тело

приводятся к

C

равнодействующей, равной главному вектору сил инерции Ф и

приложенной

в

центре

масс

тела

Ф maС .

Направлена

перпендикулярна этой плоскости и проходит через центр масс тела С (рис.

9.4). Поместим центр приведения сил инерции в точку С на оси вращения.

С

Тогда главный вектор сил инерции тела равен нулю: Ф 0 , т.к. aС 0 .

Представим

тело

как

материальных точек Mi .

У всех

точек

тела

возникают нормальные

касательные ускорения

вращения

n

и

n

ai

ai

соответствующие силы инерции Фi ,

пересекают

ось

и

моменты

не

создают.

б

Главный момент с л инерции формируют

равен

M Ф Ф h

m h2 . Учитывая, что

z

i i

i

i

J

z

m h2 ,

(9.14)

используя (9.14), получим

i i

M zФ J z .

(9.15)

лежащей в

Д

плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Момент пары сил равен

произведению моментаАинерции тела относительно оси вращения на угловое

ускорение и направлен в сторону, противоположную угловому ускорению. При

M zФ J z

,

(9.16)

а его направление показывают на рисунке дуговой стрелкой (см. рис. 9.5).

9.4.3. Вращение тела вокруг оси,

перпендикулярной плоскости симметрии

вокруг неподвижной оси, перпендикулярнойИэтой плоскости и не

проходящей через центр масс тела (рис. 9.5,а). В этом случае неподвижная

ось вращения тела является главной осью инерции тела в точке О. Каждой

точке

M i'

(см. рис. 9.5,а)

соответствует

точка Mi'' такой

же массы,

геометрически равны. Поэтому силы инерции Фi

mi ai

и Фi

mi ai

точек M i' и Mi'' геометрически равны и их равнодействующая приложена к

точке M i , лежащей в плоскости симметрии. Отсюда следует, что в точке

лежащих

С

б

А

Приведём силы инерции точек фигуры к центру её вращения О. При

Д

приведении получим силу, приложенную в этом центре, и пару сил,

лежащую в плоскости фигуры.

Сила инерции равна главному вектору, определяемому формулой

Ф maС .

Для определения момента пары M Ф разложим силу инерции каждой

И

Их модули определим по формулам

ФВ m aВ m r ;

ФЦ m aЦ m r 2 .

i

i i i i

i

i i

i i

силами инерции,

M Ф – J z , где Jz – момент инерции тела относительно

С

Вектор M Ф

направлен перпендикулярно плоскости фигуры, т. е.

совпадает с осью вращения тела и направлен противоположно вектору

углового ускорен

я:

плоскости

Как звестно

з стат ки, силу Ф* и пару с моментом M Ф,

лежащие в

одной

, можно заменить одной действующей силой Ф,

образом

геометр чески равной главному вектору (рис. 9.5,в).

Л н я действ я этой силы отстоит от центра приведения О на

расстоян

M Ф

А

h =

.

(9.17)

Таким

9.4.4. Плоское движение симметричного тела

Пусть твёрдое тело имеет плоскость

материальной

симметрии

и

совершает

движение, при котором

все

точки тела

перемещаются

параллельно

Д

этой плоскости

И

(рис. 9.6). Плоское движение тела слагается из

поступательного движения вместе с центром

масс и вращательного вокруг оси, проходящей

через центр масс перпендикулярно плоскости

Ф mac ,

M cxФ – Jcx .